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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 15.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | a) Bewesien Sie, dass aus den Rechengesetzen (A1-A4) und (M1-M4) folgt:
1. [mm] 0*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
2. [mm] -\vec{x}=(-1)*\vec{x}
[/mm]
3. [mm] \lambda*\vec{0}=\vec{0}
[/mm]
4. [mm] \lambda*\vec{x}=\vec{0} \gdw \lambda=0 [/mm] oder [mm] \vec{x}=\vec{0}
[/mm]
b) Beweisen sie, dass die Eigenschaften A3 und A4 äquivalent sind zu A5:
[mm] \vec{a}+\vec{x}=\vec{b} [/mm] besitzt für jede Vorgabe a,b [mm] \in [/mm] V genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] V |
Vorweg die Rechengesetze um die es geht:
Addition
A1: [mm] \vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}
[/mm]
A2: [mm] (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})
[/mm]
A3: Es gibt genau ein [mm] \vec{0} \in [/mm] V, sodass [mm] \vec{x}+\vec{0}=\vec{x} [/mm] (konkret [mm] \vec{0}:=(0,...,0)^T)
[/mm]
A4: Zu [mm] \vec{x} \in [/mm] V gibt es genau ein [mm] -\vec{x} \in [/mm] V, sodass [mm] \vec{x}+-\vec{x}=0 [/mm] (konkret [mm] -\vec{x}:=(-x_{1},...,x_{n})^T)
[/mm]
Multiplikation mit Skalaren
M1: [mm] (\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}
[/mm]
M2: [mm] \lambda(\vec{x}+\vec{y})=\lambda\vec{x}+\lambda\vec{y}
[/mm]
M3: [mm] (\lambda\mu)\vec{x}=\lambda(\mu\vec{x})
[/mm]
M4: [mm] 1*\vec{x}=\vec{x}
[/mm]
So erstmal hallo!
Mein Problem liegt eigentlich nicht im Verständnis der Aufgabe oder der Gesetze (sind ja auch relativ simpel), sonder die Behauptungen mit den entsprechenden Rechengesetzen zu belegen:
a) 1. Aus A3 folgt, dass [mm] \vec{0} [/mm] bei der Addition das neutrale Element und das Tupel aus lauter Nullen besteht. Befolgt man die allg. Regeln der Multiplikation (und schreibt man die Rechnung in Vektorschreibweise komponentenweise hin) kommt man zwangsläufig auf den Nullvektor.
2. Aus A4 folgt, dass -x das inverse Element ist und das Tupel als den negativen Werten von [mm] \vec{x} [/mm] besteht. Mit den normalen Rechengesetzten kann man das "-" als -1 ausklammern.
3. Selbe wie bei 1. nur diesmal mit einem Skalar.
4. Man schreibt es wieder Komponentenweise hin (wenn man will auch als LGS) und daraus folgt eben, die obige beziehung. Mit welchen gesetz ich das jetzt begründe weiß ich hier gar nicht.
b) A3 beschreibt das neutrale Element, dass die Addition nicht verändert. Da das in A5 nicht vorkommt muss recht also [mm] \vec{b} [/mm] stehen.
Mit A4 kann ich hier irgendwie nichts anfangen.
Was mir hier aber noch Kopfzerbrechen bereitet ist die Tatsache, dass ja [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] vorgegeben sind. Kann es dann nicht auch sein, dass [mm] \vec{a}=-\vec{x} [/mm] ist und [mm] \vec{b} [/mm] damit 0 bzw. [mm] \vec{a}=0 [/mm] und [mm] \vec{b}=\vec{x}. [/mm]
Ich komm hier irgendwie nicht weiter. Weiß auch nicht, wie ich zweige, dass es nur eine Lösung gibt.
Hoffe ihr konnt mir weiterhelfen bzw. sagen, ob die Beweise zu a) richtig begründet bzw. ausreichend sind.
Gruß
sup
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> a) Bewesien Sie, dass aus den Rechengesetzen (A1-A4) und
> (M1-M4) folgt:
> 1. [mm]0*\vec{x}=\vec{0}[/mm]
> 2. [mm]-\vec{x}=(-1)*\vec{x}[/mm]
> 3. [mm]\lambda*\vec{0}=\vec{0}[/mm]
> 4. [mm]\lambda*\vec{x}=\vec{0} \gdw \lambda=0[/mm] oder
> [mm]\vec{x}=\vec{0}[/mm]
>
> b) Beweisen sie, dass die Eigenschaften A3 und A4
> äquivalent sind zu A5:
> [mm]\vec{a}+\vec{x}=\vec{b}[/mm] besitzt für jede Vorgabe a,b [mm]\in[/mm]
> V genau eine Lösung x [mm]\in[/mm] V
> Vorweg die Rechengesetze um die es geht:
> Addition
> A1: [mm]\vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}[/mm]
> A2: [mm](\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})[/mm]
> A3: Es gibt genau ein [mm]\vec{0} \in[/mm] V, sodass
> [mm]\vec{x}+\vec{0}=\vec{x}[/mm] (konkret [mm]\vec{0}:=(0,...,0)^T)[/mm]
> A4: Zu [mm]\vec{x} \in[/mm] V gibt es genau ein [mm]-\vec{x} \in[/mm] V,
> sodass [mm]\vec{x}+-\vec{x}=0[/mm] (konkret
> [mm]-\vec{x}:=(-x_{1},...,x_{n})^T)[/mm]
>
> Multiplikation mit Skalaren
> M1: [mm](\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}[/mm]
> M2:
> [mm]\lambda(\vec{x}+\vec{y})=\lambda\vec{x}+\lambda\vec{y}[/mm]
> M3: [mm](\lambda\mu)\vec{x}=\lambda(\mu\vec{x})[/mm]
> M4: [mm]1*\vec{x}=\vec{x}[/mm]
>
> So erstmal hallo!
> Mein Problem liegt eigentlich nicht im Verständnis der
> Aufgabe oder der Gesetze (sind ja auch relativ simpel),
> sonder die Behauptungen mit den entsprechenden
> Rechengesetzen zu belegen:
>
> a) 1. Aus A3 folgt, dass [mm]\vec{0}[/mm] bei der Addition das
> neutrale Element und das Tupel aus lauter Nullen besteht.
> Befolgt man die allg. Regeln der Multiplikation (und
> schreibt man die Rechnung in Vektorschreibweise
> komponentenweise hin) kommt man zwangsläufig auf den
> Nullvektor.
???
Dann schreib es doch konkret hin:
[mm]0*\overrightarrow{x}=(0+0)*\overrightarrow{x}\overbrace{=}^{M1}0*\overrightarrow{x}+0*\overrightarrow{x}[/mm]
auf beiden Seiten [mm]0*\overrightarrow{x}[/mm] subtrahieren [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
>
> 2. Aus A4 folgt, dass -x das inverse Element ist und das
> Tupel als den negativen Werten von [mm]\vec{x}[/mm] besteht. Mit den
> normalen Rechengesetzten kann man das "-" als -1
> ausklammern.
Da fehlt aber trotzdem die Rechnung. Du musst ja irgendwie von
[mm]-x=[/mm].... auf [mm](-1)*x[/mm] kommen.
Vom Verständnis her ist das natürlich genau das, was wir erwarten würden, da wir schon immer so gerechnet haben. Ziel der Aufgabe ist es die Axiome geschickt anzuwenden um EXAKT (!) zu zeigen, dass das auch gilt, was früher das Bauchgefühl uns gesagt hat.
>
> 3. Selbe wie bei 1. nur diesmal mit einem Skalar.
Bei 1. verwendet man M1. Hier bei 3. würde ich M2 empfgehlen.
>
> 4. Man schreibt es wieder Komponentenweise hin (wenn man
> will auch als LGS) und daraus folgt eben, die obige
> beziehung. Mit welchen gesetz ich das jetzt begründe weiß
> ich hier gar nicht.
Das gleich in Grün. Probier es mal so aus, wie ich es bei 1. gemacht habe.
>
> b) A3 beschreibt das neutrale Element, dass die Addition
> nicht verändert. Da das in A5 nicht vorkommt muss recht
> also [mm]\vec{b}[/mm] stehen.
> Mit A4 kann ich hier irgendwie nichts anfangen.
A4 fordert die Existenz eines inversen Elementes bzgl. der Addition.
> Was mir hier aber noch Kopfzerbrechen bereitet ist die
> Tatsache, dass ja [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] vorgegeben sind. Kann
> es dann nicht auch sein, dass [mm]\vec{a}=-\vec{x}[/mm] ist und
> [mm]\vec{b}[/mm] damit 0 bzw. [mm]\vec{a}=0[/mm] und [mm]\vec{b}=\vec{x}.[/mm]
> Ich komm hier irgendwie nicht weiter. Weiß auch nicht, wie
> ich zweige, dass es nur eine Lösung gibt.
Du zeigst Äquivalenz durch beide Richtungen.
[mm]\Rightarrow[/mm]
Es gelte A3 und A4, d.h. [mm]\exists \vec{0}\in V \; : \vec{x}+\vec{0}=\vec{x}[/mm] und [mm]\forall \vec{x}\in V\exists \vec{y}:=\vec{x} \in V\quad : \vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+-\vec{x}=0[/mm]
z.z. [mm]\forall \vec{a},\vec{b}\in V\exists \vec{x}\in V \quad : \vec{a}+\vec{x}=\vec{b}[/mm]
Sei [mm] $\vec{x}:= -\vec{a}+\vec{b}$. [/mm] Dieses Element gibt es nach A4. Dann folgt....
>
> Hoffe ihr konnt mir weiterhelfen bzw. sagen, ob die Beweise
> zu a) richtig begründet bzw. ausreichend sind.
>
> Gruß
> sup
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 15.05.2011 | | Autor: | Sup |
> > a) 1. Aus A3 folgt, dass [mm]\vec{0}[/mm] bei der Addition das
> > neutrale Element und das Tupel aus lauter Nullen besteht.
> > Befolgt man die allg. Regeln der Multiplikation (und
> > schreibt man die Rechnung in Vektorschreibweise
> > komponentenweise hin) kommt man zwangsläufig auf den
> > Nullvektor.
> ???
> Dann schreib es doch konkret hin:
>
> [mm]0*\overrightarrow{x}=(0+0)*\overrightarrow{x}\overbrace{=}^{M1}0*\overrightarrow{x}+0*\overrightarrow{x}[/mm]
> auf beiden Seiten [mm]0*\overrightarrow{x}[/mm] subtrahieren
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
> >
Ok kapiert. Nur auf die Idee nussman erstmal kommen. Das ist mein Problem
> > 2. Aus A4 folgt, dass -x das inverse Element ist und das
> > Tupel als den negativen Werten von [mm]\vec{x}[/mm] besteht. Mit den
> > normalen Rechengesetzten kann man das "-" als -1
> > ausklammern.
> Da fehlt aber trotzdem die Rechnung. Du musst ja irgendwie
> von
> [mm]-x=[/mm].... auf [mm](-1)*x[/mm] kommen.
> Vom Verständnis her ist das natürlich genau das, was wir
> erwarten würden, da wir schon immer so gerechnet haben.
> Ziel der Aufgabe ist es die Axiome geschickt anzuwenden um
> EXAKT (!) zu zeigen, dass das auch gilt, was früher das
> Bauchgefühl uns gesagt hat.
> >
Gut dann habe ich da folgendes stehen: A4 [mm] \Rightarrow -\vec{x}= \vektor{-x_{1} \\ -x_{2} \\ ... \\ -x_{n}}=-1*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}}=(-1)*\vec{x}
[/mm]
So dann? Erscheint mir irgendwie zu simpel, aber nagut^^
> > 3. Selbe wie bei 1. nur diesmal mit einem Skalar.
> Bei 1. verwendet man M1. Hier bei 3. würde ich M2
> empfgehlen.
[mm] \lambda*\vec{0}=\lambda(\vec{0}+\vec{0})=\lambda\vec{0}+\lambda*\vec{0}
[/mm]
Und dann wieder subtrahieren...
> > 4. Man schreibt es wieder Komponentenweise hin (wenn man
> > will auch als LGS) und daraus folgt eben, die obige
> > beziehung. Mit welchen gesetz ich das jetzt begründe weiß
> > ich hier gar nicht.
> Das gleich in Grün. Probier es mal so aus, wie ich es bei
> 1. gemacht habe.
Dann würde ich es mit M1 und M2 begründen:
[mm] \lambda\vec{x}=(\lambda+0)*\vec{x}=\lambda*\vec{x}+0*\vec{x} ->0=0*\vec{x}
[/mm]
[mm] \lambda\vec{x}=\lambda*(\vec{x}+\vec{0})=\lambda*\vec{x}+\lambda*\vec{0} ->0=\lambda*\vec{0}
[/mm]
> >
> > b) A3 beschreibt das neutrale Element, dass die Addition
> > nicht verändert. Da das in A5 nicht vorkommt muss recht
> > also [mm]\vec{b}[/mm] stehen.
> > Mit A4 kann ich hier irgendwie nichts anfangen.
> A4 fordert die Existenz eines inversen Elementes bzgl. der
> Addition.
> > Was mir hier aber noch Kopfzerbrechen bereitet ist die
> > Tatsache, dass ja [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] vorgegeben sind. Kann
> > es dann nicht auch sein, dass [mm]\vec{a}=-\vec{x}[/mm] ist und
> > [mm]\vec{b}[/mm] damit 0 bzw. [mm]\vec{a}=0[/mm] und [mm]\vec{b}=\vec{x}.[/mm]
> > Ich komm hier irgendwie nicht weiter. Weiß auch nicht, wie
> > ich zweige, dass es nur eine Lösung gibt.
> Du zeigst Äquivalenz durch beide Richtungen.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Es gelte A3 und A4, d.h. [mm]\exists \vec{0}\in V \; : \vec{x}+\vec{0}=\vec{x}[/mm]
> und [mm]\forall \vec{x}\in V\exists \vec{y}:=\vec{x} \in V\quad : \vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+-\vec{x}=0[/mm]
>
> z.z. [mm]\forall \vec{a},\vec{b}\in V\exists \vec{x}\in V \quad : \vec{a}+\vec{x}=\vec{b}[/mm]
>
Nur damit ich den 2. Teil richtig kapier: für alle x aus V gibt es ein y, das definiert als x aus V ist, für das gilt x+y=x+-x=0 ?
> Sei [mm]\vec{x}:= -\vec{a}+\vec{b}[/mm]. Dieses Element gibt es nach
> A4. Dann folgt....
Das [mm] \vec{x}:= -\vec{a}+\vec{b} [/mm] ist das inverse Element zur kompletten Gleichung oder wie könnt man das bezeichnen?
Jedenfalls wäre dann [mm] \vec{a}-\vec{a}+\vec{b}=\vec{b} [/mm] -> [mm] \vec{b}=\vec{b}
[/mm]
Aber fehlt jetzt nicht noch die Verwendung von A3, die ja die Existenz eines neutralen Elements vorraussetzt. Nur ein neutrales Element verändert ja die Gleichung in keinster Weise....
Die andere Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] wäre ja dann [mm] \vec{b}=\vec{x}+\vec{a} [/mm] oder wie darf man das mit den beiden Richtungen verstehen.
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| Aufgabe | a) Bewesien Sie, dass aus den Rechengesetzen (A1-A4) und (M1-M4) folgt:
1. [mm] 0*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
2. [mm] -\vec{x}=(-1)*\vec{x}
[/mm]
3. [mm] \lambda*\vec{0}=\vec{0}
[/mm]
4. [mm] \lambda*\vec{x}=\vec{0} \gdw \lambda=0 [/mm] oder [mm] \vec{x}=\vec{0}
[/mm]
b) Beweisen sie, dass die Eigenschaften A3 und A4 äquivalent sind zu A5:
[mm] \vec{a}+\vec{x}=\vec{b} [/mm] besitzt für jede Vorgabe a,b [mm] \in [/mm] V genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] V |
Vorweg die Rechengesetze um die es geht:
Addition
A1: [mm] \vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}
[/mm]
A2: [mm] (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})
[/mm]
A3: Es gibt genau ein [mm] \vec{0} \in [/mm] V, sodass [mm] \vec{x}+\vec{0}=\vec{x} [/mm] (konkret [mm] \vec{0}:=(0,...,0)^T)
[/mm]
A4: Zu [mm] \vec{x} \in [/mm] V gibt es genau ein [mm] -\vec{x} \in [/mm] V, sodass [mm] \vec{x}+-\vec{x}=0 [/mm] (konkret [mm] -\vec{x}:=(-x_{1},...,x_{n})^T)
[/mm]
Multiplikation mit Skalaren
M1: [mm] (\lambda+\mu)*\vec{x}=\lambda\vec{x}+\mu\vec{x}
[/mm]
M2: [mm] \lambda(\vec{x}+\vec{y})=\lambda\vec{x}+\lambda\vec{y}
[/mm]
M3: [mm] (\lambda\mu)\vec{x}=\lambda(\mu\vec{x})
[/mm]
M4: [mm] 1*\vec{x}=\vec{x}
[/mm]
a2)
> Gut dann habe ich da folgendes stehen: A4 [mm]\Rightarrow -\vec{x}= \vektor{-x_{1} \\
-x_{2} \\
... \\
-x_{n}}=-1*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
... \\
x_{n}}=(-1)*\vec{x}[/mm]
Hallo,
wie lautete denn der Vorspann zur Aufgabe?
Das Problem: Du gehst davon aus, daß Vektoren n-Tupel sind. Das muß aber überhaupt nicht der Fall sein. Vektoren können alles mögliche sein, z.B. Funktionen.
Zeigen sollst Du: $ [mm] -\vec{x}=(-1)\cdot{}\vec{x} [/mm] $ für alle [mm] \vec{x}\in [/mm] V.
Was bedeutet das? Du sollst vormachen, daß [mm] (-1)*\vec{x} [/mm] das Inverse bzgl. der Addition von [mm] \vec{x} [/mm] ist.
Wie zeigt man das? Indem man vorrechnet, daß die Summe aus [mm] (-1)*\vec{x} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] den Nullvektor ergibt.
Kurz innehalten: wenn Du irgendeinen Vektor [mm] \vec{y} [/mm] hast, für welchen gilt, daß [mm] \vec{x}+\vec{y}=\overrightarrow{0} [/mm] ist, dann ist [mm] \vec{y} [/mm] das Inverse von [mm] \vec{x} [/mm] bzgl der Addition, und in Zeichen schreibt man dafür [mm] "-\vec{x}=\vec{y}"
[/mm]
So.
Nun geht's los:
[mm] \vec{x}+(-1)*\vec{x}= ...,\qquad [/mm] denn...
= ..., qquad denn...
= [mm] 0*\vec{x}, \qquad [/mm] denn...
= [mm] \oberrightarrow{0} \qquad [/mm] nach a1).
> > > 3. Selbe wie bei 1. nur diesmal mit einem Skalar.
> > Bei 1. verwendet man M1. Hier bei 3. würde ich M2
> > empfgehlen.
>
> [mm]\lambda*\vec{0}=\lambda(\vec{0}+\vec{0})=\lambda\vec{0}+\lambda*\vec{0}[/mm]
> Und dann wieder subtrahieren...
In den Dir vorliegenden Gesetzen sehe ich keine Subtraktion, von daher hast Du möglicherweise Schwierigkeiten, eine richtige Begründung für diese Operation zu finden.
Ich würde lieber [mm] (-\lambda)*\overrightarrow{0} [/mm] auf beiden Seiten addieren.
Alles, was Du nicht mit einem der Dir vorliegenden Gesetze begründen kannst, solltest Du unterlassen.
zu a4)
> Dann würde ich es mit M1 und M2 begründen:
>
> [mm]\lambda\vec{x}=(\lambda+0)*\vec{x}=\lambda*\vec{x}+0*\vec{x} ->0=0*\vec{x}[/mm]
>
> [mm]\lambda\vec{x}=\lambda*(\vec{x}+\vec{0})=\lambda*\vec{x}+\lambda*\vec{0} ->0=\lambda*\vec{0}[/mm]
Zum einen muß es heißen [mm] \overrightarrow{0}=0*\vec{x}, [/mm] und darunter entsprechend.
Aber es ist auch nicht richtig, was Du tust.
Du hast jetzt gezeigt, daß [mm] \overrightarrow{0}=0*\vec{x} [/mm] und [mm] \overrightarrow{0}=\lambda*\overrightarrow{0}.
[/mm]
Das ist auch richtig - aber nicht das, was man von Dir wollte.
Es konnte ja sein, daß ich ein von Null verschiedenes Körperelement k liefern kann und einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor [mm] \vec{y}, [/mm] so daß das Produkt den Nullvektor ergibt.
Und mich davon zu überzeugen, daß mir das nicht gelingen wird, ist die Aufgabe, die Dir hier gestellt ist.
Sei also [mm] \overrightarrow{0}=\lambda*\vec{x}.
[/mm]
1. Fall: [mm] \lambda=0. [/mm] Dann ist nach ... alles klar.
2. Fall: [mm] \lambda\not=0. [/mm] Multipliziere nun die Gleichung [mm] \overrightarrow{0}=\lambda*\vec{x} [/mm] geschickt mit einem Körperelement.
Nur kurz zu Aufgabe 2)
> Nur damit ich den 2. Teil richtig kapier: für alle x aus V
> gibt es ein y, das definiert als x aus V ist, für das gilt
> x+y=x+-x=0 ?
Dieses [mm] "-\vec{x}" [/mm] ist nichts anderes als eine Abkürzung für "das inverse Element von [mm] \vec{x} [/mm] bzgl der Addition", was wiederum dasselbe ist, wie "der Vektor, welcher zu [mm] \vec{x} [/mm] addiert den Nullvektor ergibt."
(Du hast aber oben gezeigt, daß man das inverse Element von [mm] \vec{x} [/mm] bekommt, indem man [mm] \vec{x} [/mm] mit -1 multipliziert, weißt also inzwischen sehr gut, wie die zu einem Vektor inversen Elemente aussehen.)
> > Sei [mm]\vec{x}:= -\vec{a}+\vec{b}[/mm]. Dieses Element gibt es
> nach
> > A4. Dann folgt....
>
> Das [mm]\vec{x}:= -\vec{a}+\vec{b}[/mm] ist das inverse Element zur
> kompletten Gleichung oder wie könnt man das bezeichnen?
Das [mm] \vec{x} [/mm] ist einfach ein Vektor.
Wir können uns seiner Existenz aus folgenden Gründen sicher sein:
[mm] \vec{a}\in [/mm] V. Also gibt es nach A$ ein Element [mm] -\vec{a}\in [/mm] V
[mm] b\in [/mm] V.
Wenn [mm] -\vec{a}, \vec{b}\in [/mm] , dann ist auch die Summe in V.
(Das weiß man aus der Definition des Vektorraumes. Da steht sinngemäß, daß "+" zwei Elemente aus V zu einem Element verknüpft, welches wieder in V ist.)
> Jedenfalls wäre dann [mm]\vec{a}-\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}[/mm] ->
> [mm]\vec{b}=\vec{b}[/mm]
Fast.
Es wäre [mm] \vec{a}+( -\vec{a}+\vec{b})=(\vec{a}+(-\vec{a}))+\vec{b}=\overrightarrow{0}+\vec{b}=\vec{b}.
[/mm]
Überleg Dir bei jedem Schritt: weshalb?
Bisher hast Du erreicht zu zeigen:
wenn A3 und A4 gelten, hat die Gleichung [mm] \vec{a}+\vec{x}=\vec{b} [/mm] für alle [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] eine Lösung.
> Die andere Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] wäre ja dann
> [mm]\vec{b}=\vec{x}+\vec{a}[/mm] oder wie darf man das mit den
> beiden Richtungen verstehen.
In der Rückrichtung ist zu zeigen:
wenn die Gleichung [mm] \vec{a}+\vec{x}=\vec{b} [/mm] für alle [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] eine Lösung hat, dann gelten A3 und A4,
dh. dann gibt es ein neutrales Element, und jedes Element hat ein inverses.
Tips:
- wenn die Gleichung für alle [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] eine Lösung hat, dann gilt dies auch für [mm] \vec{a}=\vec{b}.
[/mm]
-wenn die Gleichung für alle [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] eine Lösung hat, dann gilt dies auch für [mm] \vec{b}=\overrightarrow{0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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