Beweis bedingung direkte Summe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage zu dem Beweis einer direkten Summe:
ich habe einen VR Map( [mm] \IR, \IR) [/mm] mit Verknüpfungen (f+g)=f(x) + g(x) und ( [mm] \lambda [/mm] f)(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR, \lambda \in \IR
[/mm]
außerdem habe ich zwei Untervektorräume gegeben,
F1 = { f [mm] \in [/mm] Map [mm] (\IR,\IR) [/mm] | f(-x) = f (x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] }
F2 = { f [mm] \in [/mm] Map [mm] (\IR,\IR) [/mm] | f(-x) =-f (x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] }
ich soll nun zeigen, dass Map [mm] (\IR, \IR) [/mm] = F1 [mm] \oplus [/mm] F2
ich weiß, dass ich dazu zeigen muss, dass [mm] \summe_{i=1}^{2} [/mm] Fi = { [mm] \summe_{i=1}^{2} [/mm] Fi | ui [mm] \in [/mm] Ui, i = 1,2} [mm] \subset [/mm] Map [mm] (\IR,\IR) [/mm] ist und das zwei von Null verschiedene Vektoren f1 [mm] \in [/mm] F1 und f2 [mm] \in [/mm] F2 linear unabhängig sind.
ich weiß allerdings absolut nicht wie ich die erste Bedingung beweisen soll und brauche desahlb dringend Rat!!! Bitte bitte helft mir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Fr 10.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hattest eine weitere Frage geschrieben mit dem gleichen Inhalt außer, dass du die "zweite Bedingung" nicht beweisen konntest.
Bitte keine Doppelposts und sag sicherheitshalber nochmal deutlich, welche du jetzt brauchst.
andere Frage wurde von mir "versteckt"
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Fr 10.06.2005 | | Autor: | mathedman |
Du musst zeigen
[mm]F_1 + F_2 = Map(\IR,\IR)[/mm] und
[mm]F_1 \cap F_2 = \{0\}[/mm].
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Hallo verzweifelt_gesucht,
Sei f1 [mm] \in [/mm] F1 und f2 [mm] \in [/mm] F2. Gelte f1 + f2 = 0, und f1 und f2 nicht beide konstant gleich 0.
O.b.d.A. sei f1 nicht konstant gleich 0. Dann gibt es ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f1(x_0) [/mm] = c [mm] \not= [/mm] 0. Dann muss [mm] f2(x_0) [/mm] = -c sein.
Da f1 [mm] \in [/mm] F1 gilt aber auch [mm] f1(-x_0)=c [/mm] und
[mm] f2(-x_0)=-(-c)=c.
[/mm]
Also ist [mm] f1(-x_0) [/mm] + [mm] f2(-x_0) [/mm] = 2c [mm] \not=0
[/mm]
Also sind zwei (von 0 verschiedene) Vektoren aus F1 und F2 linear unabhängig.
Sei nun f [mm] \in Map(\IR,\IR) [/mm] beliebig.
Setze f1(x) = 1/2 * ( f(x) + f(-x) )
und f2(x) = 1/2 * ( f(x) - f(-x) )
Dann ist f1 [mm] \in [/mm] F1 und f2 [mm] \in [/mm] F2 denn:
f1(-x) = 1/2 * ( f(-x) + f (-(-x)) ) = 1/2 * ( f(x) + f(-x) ) = f1(x) und
f2(-x) = 1/2 * ( f(-x) - f( -(-x)) ) = 1/2 * ( -f(x) + f(-x) ) = -f2(x).
Weiters gilt:
f1(x)+f2(x) = 1/2 * ( f(x) + f(-x) ) + 1/2 * ( f(x) - f(-x) ) = f(x)
Also gilt: [mm] Map(\IR, \IR) [/mm] = F1 [mm] \oplus [/mm] F2
Liebe Grüße,
Holy Diver
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