Beweis beschränkte Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hi Leute,
ich habe sehr große Schwierigkeiten mit diesem Beweis, obwohl er "leicht" klingt. Mache das so zum ersten mal.
Sei f: [a,b] --> R eine beschränkte Funktion: |f(x)| <= B für alle x element [a,b], wobei B eine positive Zahl ist. Zeige:
S(p,f²)-s(p,f²) <= 2B(S(p,f)-s(p,f))
für alle Partitionen p element P [a,b].
Mit f² ist f(x)² gemeint. Richtig?
Das einzige was mir als Idee kommt ist, dass der Gleichheitsfall nur dann eintreten kann (glaube ich), wenn f(0)=0 ?
Als Hinweis haben wir noch: f²(x) - f²(y) = (f(x) + f(y)) (f(x) - f(y))
Würde mich über Hilfe freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 20.04.2005 | | Autor: | choosy |
schaun mer ma:
Sei $p = [mm] \{ t_0,t_1,...,t_n \}\subset [/mm] [a,b]$ eine beliebige Partition von $[a,b]$., dann ist
mit
[mm] $M_i [/mm] := [mm] \sup\{f(x) : x\in [t_i,t_{i-1}]\}$ [/mm] und
[mm] $m_i [/mm] := [mm] \inf\{f(x) : x\in [t_i,t_{i-1}]\}$
[/mm]
(da $f$ besschränkt ist gilt [mm] $m_i \leq M_i <\infty$)
[/mm]
$ [mm] S(p,f^2) [/mm] - [mm] s(p,f^2) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n (M_i^2 -m_i^2) (t_i-t_{i-1}) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n (M_i -m_i)\underbrace{(M_i + m_i)}_{\leq 2B} (t_i-t_{i-1})\leq \sum_{k=0}^n (M_i -m_i) [/mm] 2B [mm] (t_i-t_{i-1}) [/mm] = 2B [mm] \sum_{k=0}^n (M_i -m_i) (t_i-t_{i-1}) [/mm] =2BS(p,f) - s(p,f) $
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