Beweis,dass gilt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Oh man diese aufgaben sind echt die Hölle für mich, wieder mal ein Beweis:
Es sei [mm] f:[a-b,a+b]\to\IR [/mm] mit [mm] a,b\in\IR [/mm] eine integrierbare Funktion, die punktsymmetrisch zu a ist, das heißt für alle c [mm] \in[0,b] [/mm] gilt f(a-c) = -f(a+c). Beweisen Sie, dass für alle [mm] d\in[0,b] [/mm] gilt:
[mm] \integral_{a-d}^{a+d}{f(x) dx} [/mm] = 0
also, verstehe solche Dinge einfach nicht, wieso man als nicht Mathestudent so etwas können sollte! Hab echt keinen Plan wie hier vorzugehen ist?
Wäre deshalb um Hilfe dankbar!
lg und danke im voraus Surfer
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Do 12.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Oh man diese aufgaben sind echt die Hölle für mich, wieder
> mal ein Beweis:
>
> Es sei [mm]f:[a-b,a+b]\to\IR[/mm] mit [mm]a,b\in\IR[/mm] eine integrierbare
> Funktion, die punktsymmetrisch zu a ist, das heißt für alle
> c [mm]\in[0,b][/mm] gilt f(a-c) = -f(a+c). Beweisen Sie, dass für
> alle [mm]d\in[0,b][/mm] gilt:
> [mm]\integral_{a-d}^{a+d}{f(x) dx}[/mm] = 0
Hallo,
Gehe doch zurück zum Urschleim und deute das bestimmte Integral als Grenzwert einer Zerlegungssumme aus unendlich vielen und unendlich schmalen Flächenstreifen. Wegen der Punktsymmetrie hast du links und rechts von a jeweils gleich große, aber eben genau unterschiedlich orientierte Flächenstücke.
Ansonsten müsstest du auch zeigen können, dass die Integralfunktionen
[mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] für x=a+d bzw. x=a-d genau entgegengesetzte Werte liefert.
Gruß Abakus
>
> also, verstehe solche Dinge einfach nicht, wieso man als
> nicht Mathestudent so etwas können sollte! Hab echt keinen
> Plan wie hier vorzugehen ist?
>
> Wäre deshalb um Hilfe dankbar!
>
> lg und danke im voraus Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Und wie schreibe ich hiervon [mm] \integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] dann das integrierte in das dann noch die Schranken einzusetzen sind? also was gibt f(x) integriert?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Do 12.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Und wie schreibe ich hiervon [mm]\integral_{a}^{x}{f(x) dx}[/mm]
> dann das integrierte in das dann noch die Schranken
> einzusetzen sind? also was gibt f(x) integriert?
Das ist so was von unwichtig. Wichtig ist nur, dass f(a+d)=-f(a-d) ist.
>
> lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Und wie komm ich darauf?
was muss ich tun um dies bewiesen zu haben?
lg und danke Surfer
|
|
|
| |
|
[mm] \integral_{a-d}^{a+d}{f(x) dx}=\integral_{a-d}^{a}{f(x) dx}+\integral_{a}^{a+d}{f(x) dx}...
[/mm]
Substituiere im ersten Integral nun r=x-a (dr=dx) und im zweiten s=a-x (ds=-dx), wobei die Grenzen mit verändert werden müssen:
[mm] ...=\integral_{-d}^{0}{f(r+a) dr}+\integral_{0}^{-d}{f(a-s) (-ds)}
[/mm]
[mm] =\integral_{-d}^{0}{f(r+a) dr}-\integral_{-d}^{0}{f(a-s) (-ds)} [/mm] (Grenzumkehr)
[mm] =\integral_{-d}^{0}{f(r+a) dr}+\integral_{-d}^{0}{f(a-s) ds}
[/mm]
Ersetze nun in beiden Integralen den Buchstaben r bzw. s jeweils durch den Buchstaben c:
[mm] ...=\integral_{-d}^{0}{f(c+a) dc}+\integral_{-d}^{0}{f(a-c) dc} [/mm] und fasse wegen gleicher Grenzen beide Integrale zusammen:
[mm] ...=\integral_{-d}^{0}{(f(a+c)+f(a-c)) dc}.
[/mm]
Wegen der Punktsymmetrie um a ist aber immer f(a+c)+f(a-c)=0 und damit
[mm] ...=\integral_{-d}^{0}{0 dc}=0
[/mm]
|
|
|
|
