Beweis der Eigenschaften von N < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Do 01.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Im Buch "Analysis 1" von Wolfang Walter wird im zweiten Kapitel die Menge der natürlichen Zahlen als induktive Menge eingeführt, worauf einige Eigenschaften dieser Menge genannt werden, darunter auch folgende:
"Mit m und n ist auch m+n eine natürliche Zahl"
Der Autor des Buches empfiehlt, die Menge C={n: n+m [mm] \in [/mm] N für alle m} zu betrachten und zu beweisen, dass alle natürlichen Zahlen zu dieser Menge gehören.
Nun bin ich mir nicht sicher, ob mein Beweis richtig ist:
Zunächst setze ich n=0 (Verankerung). Dies führt zur Aussage, dass "m Element von N für alle m" ist, was richtig ist, weil m ja eine natürliche Zahl ist. Als nächstes setze ich voraus, dass irgendein n zur Menge C gehört und beweise dann anschliessend, dass auch n+1 in der Menge C enthalten ist. Für n+1 erhalte ich als Aussage "n+1+m [mm] \in [/mm] N für alle m". Das ist gleichbedeutend mit "n+(m+1) [mm] \in [/mm] N für alle m" was stimmt, weil ich ja vorausgesetzt habe, dass n zur Menge C gehört.
Ist dieser Beweis richtig? Darf ich voraussetzen, dass die Umformung von "n+1+m" zu "n+(m+1)" erlaubt ist?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Gruss
Gilles
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Gilles
Ja, das ist richtig. Vorher musst die addition "+" definiert, und ihre Kommutativität und Assoziativität bewiesen haben.
Du stehst sehr gut, gratuliere! 
Schöne Grüße,
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 01.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Vielen Dank zunächst für die rasche Antwort. Ich habe noch folgende Frage zu diesem Thema:
Müssen die Assoziativität und die Kommutativität bewiesen werden, wenn sie bereits im Kapitel zu den reellen Zahlen als Axiome definiert wurden?
Gruss
Gilles
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Bonjour!
Zunächst: Der Beweis ist wirklich nicht schlecht (auch wenn man sich vielleicht über die Verankerung auf 0 in [mm] \IN [/mm] noch lange unterhalten könnte... :) ).
Jetzt aber zu deiner Frage nach der Gültigkeit von Axiomen über [mm] \IR [/mm] innerhalb [mm] \IN:
[/mm]
Nein, du musst sie eigentlich nicht mehr beweisen.
[mm] \IN \subset \IR, \IN [/mm] ist also echte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und damit gelten die Axiome aus [mm] \IR [/mm] natürlich auch innerhalb des "Teilraumes" [mm] \IN.
[/mm]
Au revoir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Do 01.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Vielen Dank nochmals für die Hilfe!
Gruss
Gilles
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