Beweis der Existenz der Wurzel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 16.04.2013 | | Autor: | Dirk2 |
Guten Tag,
Sei a [mm] \ge [/mm] 0 eine reelle Zahl.
Es existiert in R ein b [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] b^2 [/mm] = a.
Sei b die zum Dedekindschen Schnitt (A,B) gehörige Schnittzahl, das heißt für [mm] x_1 \in [/mm] A, [mm] x_2 \in [/mm] B ist [mm] x_1 \le [/mm] b [mm] \le x_2. [/mm]
Behauptung: [mm] b^2 [/mm] = a
Die beweist man im Buch damit, daß [mm] b^2 [/mm] > a nicht gilt.
Angenommen, es wäre [mm] b^2 [/mm] > a. Wegen 0 [mm] \in [/mm] A muß b [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Da [mm] b^2 [/mm] > a sein soll, ist b = 0 nicht möglich, es ist b > 0.
Dann sucht man sich eine Zahl [mm] \varepsilon [/mm] mit den folgenden drei Eigenschaften:
0 < [mm] \varepsilon
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] b - [mm] \varepsilon
[/mm]
2 [mm] \varepsilon [/mm] b [mm] \le b^2-a
[/mm]
Dann ist b - [mm] \varepsilon \in [/mm] B, denn b - [mm] \varepsilon [/mm] ist positiv und
(b [mm] -\varepsilon )^2 [/mm] = [mm] b^2-2\varepsilonb [/mm] + [mm] \epsilon^2
[/mm]
> [mm] b^2-2\epsilonb
[/mm]
[mm] \ge [/mm] a
Da b als Schnittzahl links von allen Elementen aus B liegt, folgt [mm] b-\varepsilon \ge [/mm] b
und damit [mm] \varepsilon \le [/mm] 0 im Widerspruch zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Also gilt nicht [mm] b^2 [/mm] > a.
Danach wird für den Beweis im Fall [mm] b^2 [/mm] < a analog verfahren.
Meine Frage lautet:
Wie kommt man zu den Bedingungen für [mm] \epsilon.
[/mm]
Im Buch steht, wenn man von [mm] (b-\varepsilon)^2 [/mm] > a ausgeht und dann daraus durch
Rückwärtsrechnen die an [mm] \varepsilon [/mm] gestellten Bedingungen herleitet.
Wie rechnet man rückwärts, in diesem Fall und im Allgemeinen ?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 16.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Tag,
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> Sei a [mm]\ge[/mm] 0 eine reelle Zahl.
>
> Es existiert in R ein b [mm]\ge[/mm] 0 mit [mm]b^2[/mm] = a.
>
> Sei b die zum Dedekindschen Schnitt (A,B) gehörige
> Schnittzahl, das heißt für [mm]x_1 \in[/mm] A, [mm]x_2 \in[/mm] B ist [mm]x_1 \le[/mm]
> b [mm]\le x_2.[/mm]
>
> Behauptung: [mm]b^2[/mm] = a
>
> Die beweist man im Buch damit, daß [mm]b^2[/mm] > a nicht gilt.
>
> Angenommen, es wäre [mm]b^2[/mm] > a. Wegen 0 [mm]\in[/mm] A muß b [mm]\ge[/mm] 0
> sein.
>
> Da [mm]b^2[/mm] > a sein soll, ist b = 0 nicht möglich, es ist b >
> 0.
>
> Dann sucht man sich eine Zahl [mm]\varepsilon[/mm] mit den folgenden
> drei Eigenschaften:
>
>
> 0 < [mm]\varepsilon[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] b - [mm]\varepsilon[/mm]
> 2 [mm]\varepsilon[/mm] b [mm]\le b^2-a[/mm]
>
> Dann ist b - [mm]\varepsilon \in[/mm] B, denn b - [mm]\varepsilon[/mm] ist
> positiv und
>
> (b [mm]-\varepsilon )^2[/mm] = [mm]b^2-2\varepsilonb[/mm] + [mm]\epsilon^2[/mm]
Vorsicht: nicht $\varepsilonb$, sondern $\varepsilon b$ schreiben, damit man
das [mm] $b\,$ [/mm] in [mm] $\varepsilon [/mm] b$ auch sieht! (Vorschaufunktion hilft bei sowas auch!)
> > [mm]b^2-2\epsilonb[/mm]
> [mm]\ge[/mm] a
>
> Da b als Schnittzahl links von allen Elementen aus B liegt,
> folgt [mm]b-\varepsilon \ge[/mm] b
> und damit [mm]\varepsilon \le[/mm] 0 im Widerspruch zu [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0.
>
> Also gilt nicht [mm]b^2[/mm] > a.
>
> Danach wird für den Beweis im Fall [mm]b^2[/mm] < a analog
> verfahren.
>
>
> Meine Frage lautet:
>
> Wie kommt man zu den Bedingungen für [mm]\epsilon.[/mm]
>
> Im Buch steht, wenn man von [mm](b-\varepsilon)^2[/mm] > a ausgeht
> und dann daraus durch
>
> Rückwärtsrechnen die an [mm]\varepsilon[/mm] gestellten
> Bedingungen herleitet.
>
> Wie rechnet man rückwärts, in diesem Fall und im
> Allgemeinen ?
Im Allgemeinen kann man das schlecht sagen, weil das auch von den Bedingungen abhängt/abhängen
kann, die man haben will. Ich muss nochmal genau in die Definition der Dedekindschen Schnitte gucken,
wenn meine Antwort passender darauf abgestimmt sein sollte, aber ich denke, hier sollte einfach
[mm] $\varepsilon [/mm] > 0 [mm] \text{ mit }b':=b-\varepsilon [/mm] > 0$
so gefunden werden, dass schon
[mm] ${b'}^2 [/mm] > a$
folgt. (Die Idee ist doch einfach die: Um zu zeigen, dass [mm] $b^2 [/mm] > [mm] a\,$ [/mm] nicht gilt, nimmt man an, dass dies doch
gelte, und will damit einen Widerspruch erzeugen: Dazu sucht man eine geeignete reelle Zahl [mm] $b'\,$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] b' < [mm] b\,,$ [/mm]
für die dann aber auch schon $b'^2 > a$ sein müßte. Um $0 [mm] \le [/mm] b' < b$ zu gewährleisten, kann ich [mm] $b'=b-\varepsilon$ [/mm] schreiben, wobei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ sein muss, damit $b' < b$ ist.
Um $0 [mm] \le [/mm] b'$ zu gewährleisten muss [mm] $b'=b-\varepsilon \ge 0\,,$ [/mm] also schonmal insgesamt $0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] b$ gefordert werden.
(Wenn es ein solches [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht geben könnte, sollten wir eine neue Beweisidee anfangen... aber hier
klappt das ja alles bisweilen - es ist ja $b > [mm] 0\,$!) [/mm] Jetzt ist noch das [mm] $\varepsilon$ [/mm] so zu suchen, dass auch
[mm] $(b-\varepsilon)^2 [/mm] > a$ folgt!)
Nun ist
$b'^2 > a [mm] \iff (b-\varepsilon)^2 [/mm] > a [mm] \iff \blue{b^2-2\varepsilon b+\varepsilon^2 > a}\,.$
[/mm]
Und wenn man nun sogar schon [mm] $b^2-2 \varepsilon [/mm] b > a$ hat, was äquivalent zu
$2 [mm] \varepsilon [/mm] b < [mm] \overbrace{b^2-a}^{>0\text{ !!}}$ [/mm]
ist, so folgt damit die Gültigkeit der blauen Ungleichung (KEINE Äquivalenz, es gilt "nur" sowas wie
$2 [mm] \varepsilon [/mm] b < [mm] b^2-a \;\;\Longrightarrow\;\; b^2-2\varepsilon b+\varepsilon^2 [/mm] > a$
und bei den [mm] $\iff$ [/mm] folgt durch Verfolgen der Folgerungen in Richtung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] dann [mm] $(b-\varepsilon)^2 [/mm] > a$ resp. $b'^2 > [mm] a\,.$)
[/mm]
Das sind eigentlich so die "Grundüberlegungen", jetzt muss man natürlich noch gucken, dass das, was man
da macht, auch "passend" bzw. "vernünftig" zu der "Theorie: Reelle Zahlen als Dedekindsche Schnitte"
verpackt wird. Dazu bin ich aber gerade ein wenig zu faul, zumal ich die Dedekindschen Schnitte im
Wesentlichen dazu kennenlernte, um einzusehen, dass es einen vollständigen geordneten Körper gibt.
(Weiterhin ist jeder weitere vollständige geordnete Körper zu diesem ähnlich isomorph, in diesem Sinne
ist das auch "der Einzige", und wir nennen ihn [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $<\,$ [/mm] als Ordnungsrelation!)
![[]](/images/popup.gif) siehe auch Kapitel 3 (ff.)
Man kann aber [mm] $\IR$ [/mm] auch anders einführen (vermittels Cauchyfolgen (gerne gemacht bei Funktionalanalytikern),
vermittels Schnittaxiom (bei Heuser, glaube ich) etc. pp. ( Geometrieliebhaber haben sicher auch wieder
eine eigene Methode.  )
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Di 16.04.2013 | | Autor: | Dirk2 |
Vielen Dank Marcel
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