Beweis der Integrierbarkeit < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise folgenden Satz:
"Jede in [a;b] monotone und beschränkte Funktion ist in [a;b] integrierbar. |
Tja, ich habe keine Beweisidee.
Da wir nach unserer Definition eine Funktion integrierbar in [a;b] ist, wenn der Grenzwert der Ober- und der Untersumme existieren und gleich sind, ist mir klar, was zu zeigen ist, aber ich habe keine Idee dies allgemein für jede die Voraussetzungen erfüllende Funktion zu zeigen.
Könnt ihr mir helfen?
Ich verscuhe solange, dann mal irgendwie mit der ABleitung was rumzufummeln. (Liegt ja nahe, wenn Monotonie vorausgesetzt wird....)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mo 28.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Monoton und beschränkt heisst nicht, dass die Funktion differenzierbar ist, nichtmal stetig muss sie sein! (eine steigende Treppenfkt. z. Bsp ist monoton und beschränkt aber weder stetig, noch differenzierbar! Mal dir mal ne stückweise stetige und beschränkte Fkt auf und die Ober und Untersumme. Dann siehst du vielleicht den Weg!
Gruss leduart
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Was Diefferenzierbarkeit und Stetigkeit angeht, hast du natürlich recht. (lässt sich nicht aus der Monotonie folgern.) Leider bringt mir das Skizzieren einer derartigen Funktion nichts. Der einzige Unterschied den ich sehe, der durch einen Monotoniewechsel hervogerufen werden würde, ist der, dass Supremun/Infinum des jeweiligen Intervalls vom linken zum rechten Intervallrand bzw. umgekehrt wechselt.
Kannst du mir nicht noch einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mo 28.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo RoKs
für die Untersummen nimmst du den Funktionswert immer am linken Ende des Intervalls, für die Obersumme am rechten. Wegen der Monotonie (steigend gedacht, sonst umgekehrt ist die Obersumme dann immer größer gleich der US.
Die Differenz zwischen OS und US ist dann maximal die Intervalllänge mal (Endwert - Anfangswert). da letztes wegen der Beschränktheit endlich ist konvergiert die Differenz gegen 0.
Anschaulich kannst du die einzelnen Differenzen zusammenschieben, da der Funktionswert des nächsten US Gliedes gleich dem vorhergehenden der OS ist.
das solltest du auf ner Zeichnung sehen.
Gruss leduart
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Danke.
Jetzt, wo ich weiß was man machen muss, sehe ich es auch auf der Zeichnung... . Es kann schon schwer sein die Idee zu haben.
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