Beweis der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man beweise, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)} [/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
Hallo
ich habe ein Problem mit der obrigen Aufgabe und zwar habe ich meinen beweis begonnen in dem ich erstmal gesagt habe das es für n [mm] \ge [/mm] 1 eine zerlegung von [mm] \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+2)} [/mm] gibt dann habe ich mit den Partialsummen wie folgt argumentiert:
[mm] s_{k}:= \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+2)}= [/mm] 1+ ...+ [mm] \bruch{1}{n} -(\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+2)}= [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+2)}
[/mm]
Und an dieser Stelle weiß ich leider nicht wie ich weiter machen soll...Ist der Ansatz denn soweit richtig oder ist der bereits von mir ungünstig gewählt...Ich wäre für jede hilfe sehr dankbar...
LG Schmetterfee
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Oh das is mir in den Analysisteil der Schulmathematik gerutscht..kann das jemand in die Analysis der Hochschulmathematik verschieben?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Idee mit der Partialbruchzerlegung ist sehr gut, die Zähler sind allerdings falsch berechnet.
Gruß Sax.
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Hallo
So ich habe noch mal nachgerechnet un die zerlegung lautet:
[mm] \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \bruch{1}{2n}- \bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{2(n+2)}
[/mm]
Damit ist [mm] s_{k}:= \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \summe_{n=1}^{k} (\bruch{1}{2n}- \bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{2(n+2)}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}- \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}+\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2(n+2)}
[/mm]
Nun komme ich an dieser Stelle aber leider nicht weiter...kann mir jemand einen tipp geben wie ich hier weiter machen muss...
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 29.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo
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> So ich habe noch mal nachgerechnet un die zerlegung
> lautet:
> [mm]\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \bruch{1}{2n}- \bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
>
> Damit ist [mm]s_{k}:= \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \summe_{n=1}^{k} (\bruch{1}{2n}- \bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{2(n+2)})[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}- \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}+\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
besser die 1/2 vor die Summe ziehen, und auch die mittlere Summe als 2 Summen mit 1/2 davor schreiben.
dann die ersten 2 Summen zusammen ansehen und die letzten 2 , jeweils bei einer Summe den Index so verschieben, dass die Ausdrücke in beiden summen gleich sind.
Gruss leduart
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> Hallo
> > Hallo
> >
> > So ich habe noch mal nachgerechnet un die zerlegung
> > lautet:
> > [mm]\bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \bruch{1}{2n}- \bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
>
> >
> > Damit ist [mm]s_{k}:= \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \summe_{n=1}^{k} (\bruch{1}{2n}- \bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{2(n+2)})[/mm]
> > = [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}- \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}+\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
>
> besser die 1/2 vor die Summe ziehen, und auch die mittlere
> Summe als 2 Summen mit 1/2 davor schreiben.
> dann die ersten 2 Summen zusammen ansehen und die letzten
> 2 , jeweils bei einer Summe den Index so verschieben, dass
> die Ausdrücke in beiden summen gleich sind.
> Gruss leduart
>
Hallo ich habe versucht deine hinweise um zusetzen und bin dann zu dem folgenden Schluss gekommen:
= [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}- \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}+\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{2(n+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} (\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{n}- \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}- \summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}+\summe_{n=1}^{k} \bruch{1}{n+2})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} (\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{n}- \summe_{n=2}^{k+1} \bruch{1}{n+1}- \summe_{n=2}^{k+1} \bruch{1}{n}+\summe_{n=3}^{k+2} \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k+2})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} (\bruch{1}{2}- \bruch{1}{k+1}+\bruch{1}{k+2})
[/mm]
Daher gilt [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)}= \limes_{k\rightarrow\infty} s_{k}= \bruch{1}{4}
[/mm]
ist das denn so korrekt? oder hab ich da immer noch was falsch gemacht?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh grad keinen Fehler mehr, nur bei einem Zwischenschritt wohl ein Tipfehler:
$ [mm] =\bruch{1}{2} (\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{n}- \summe_{n=2}^{k+1} \bruch{1}{n+1}- \summe_{n=2}^{k+1} \bruch{1}{n}+\summe_{n=3}^{k+2} \bruch{1}{n}) [/mm] $
in der zweiten Summe 1/n statt 1/(n+1).
(merk dir den Trick mit dem Aufteilen bei 3 Summen!)
Gruss leduart
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Ja klar das war ein Tippfehler...Danke den Tipp werde ich mir merken...
LG Schmetterfee
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