Beweis der geometrischen Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 28.04.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Aussage:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} kx^k [/mm] = [mm] \frac{x}{(1-x)^2}$, $\forall [/mm] x$ mit $|x|<1$.
Hinweis: Differenzieren Sie beide Seiten der geometrischen Reihe und multiplizieren Sie mit x. |
Ich hab dann mal so angefangen:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} kx^k [/mm] = [mm] \frac{x}{(1-x)^2}$
[/mm]
Beide Seiten Differenziert:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] + [mm] k^2x^{k-1} [/mm] = [mm] \frac{3-x}{(1-x)^3}$
[/mm]
Beide Seiten mit x multipliziert:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} x^{k+1} [/mm] + [mm] k^2x^{k} [/mm] = [mm] \frac{-x^2+3}{x(1-x)^3}$
[/mm]
Stimmt das soweit?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo bandchef,
> Zeigen Sie folgende Aussage:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} kx^k = \frac{x}{(1-x)^2}[/mm], [mm]\forall x[/mm] mit
> [mm]|x|<1[/mm].
>
> Hinweis: Differenzieren Sie beide Seiten der geometrischen
> Reihe und multiplizieren Sie mit x.
> Ich hab dann mal so angefangen:
>
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} kx^k = \frac{x}{(1-x)^2}[/mm]
>
> Beide Seiten Differenziert:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} x^k + k^2x^{k-1} = \frac{3-x}{(1-x)^3}[/mm]
leider sind beide Seiten nicht richtig...
Linke Seite: beachte, dass nur nach x ableiten sollst. Der erste Summand [mm]x^k[/mm] ist zuviel. (Beachte auch, dass die abgeleitete Reihe eigentlich bei $k=1$ beginnt. Warum kannst aber auch bei $k=0$ starten?)
Rechte Seite: rechne nochmal nach. Der Zähler stimmt nicht.
> Beide Seiten mit x multipliziert:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} x^{k+1} + k^2x^{k} = \frac{-x^2+3}{x(1-x)^3}[/mm]
Abgesehen, dass die rechte Seite nicht stimmt, hast du trotzdem einen kleinen Fehler gemacht. Vielleicht ist es aber nur ein Tippfehler: der Faktor x im Nenner gehört zur 3 im Zähler.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 28.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Die rechte Seite ist jetzt klar:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} kx^k [/mm] = [mm] \frac{3-x}{(1-x)^3} [/mm] $
Die linke Seite muss ich noch ableiten:
Wenn ich nun die linke Seite nach x differenzieren will, muss ich doch die Produktregel anwenden, die besagt, dass gilt: $f'(x) = u'v + v'u [mm] \Leftrightarrow [/mm] f'(x) = [mm] 0x^k [/mm] + ...$
Jetzt müsste ich also quasi noch das [mm] $x^k$ [/mm] ableiten. Aber das check ich grad nicht. Es sollte doch so passen: [mm] $\left( x^k \right)' [/mm] = [mm] kx^{k-1}$ [/mm] Der Exponent wird nach vorne gezogen und im Exponenten selbst um 1 verringert...
Hm ich seh grad, dass das schon stimmen muss:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{kx^k}{x} [/mm] = [mm] \frac{-x^2+3x}{(1-x)^3} [/mm] $
Wenn ich nun, wie im Hinweis steht, auf beiden Seiten mit x multipliziere, dann komm ich auf:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} kx^k [/mm] = [mm] \frac{-x^2+3x}{(1-x)^3} [/mm] $
Ist hiermit nun das "Zeigen" fertig? Oder muss man da jetzt noch was machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Die rechte Seite ist jetzt klar:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} kx^k = \frac{3-x}{(1-x)^3}[/mm]
das ist doch wieder dasselbe wie oben... Es ist doch
[mm]\left(\frac{x}{(1-x)^2}\right)'=\frac{(1-x)^2-\red{x}\cdot 2(1-x)\cdot(-1)}{(1-x)^4}=\ldots[/mm]
Du scheinst das rote x vergessen zu haben.
> Die linke Seite muss ich noch ableiten:
>
>
> Wenn ich nun die linke Seite nach x differenzieren will,
> muss ich doch die Produktregel anwenden, die besagt, dass
> gilt: [mm]f'(x) = u'v + v'u \Leftrightarrow f'(x) = 0x^k + ...[/mm]
Die Produktregel brauchst du nicht. Das k kannst du als Konstante ansehen.
> Jetzt müsste ich also quasi noch das [mm]x^k[/mm] ableiten. Aber
> das check ich grad nicht. Es sollte doch so passen: [mm]\left( x^k \right)' = kx^{k-1}[/mm]
> Der Exponent wird nach vorne gezogen und im Exponenten
> selbst um 1 verringert...
Jein, du musst [mm]kx^k[/mm] ableiten und das ist [mm]k*kx^{k-1}=k^2x^{k-1}[/mm]
> Hm ich seh grad, dass das schon stimmen muss:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{kx^k}{x} = \frac{-x^2+3x}{(1-x)^3}[/mm]
Nein, links muss es [mm]k^2[/mm] heißen und rechts hast du schon mit x multipliziert... (außerdem ist der Term auf der rechten Seite falsch)
> Wenn ich nun, wie im Hinweis steht, auf beiden Seiten mit x
> multipliziere, dann komm ich auf:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} kx^k = \frac{-x^2+3x}{(1-x)^3}[/mm]
... wieder [mm]k^2[/mm]...
> Ist hiermit nun das "Zeigen" fertig? Oder muss man da jetzt
> noch was machen?
Mir ist gerade aufgefallen, das wir die Aufgabe falsch angegangen sind!
Im Hinweis steht "Differenzieren Sie beide Seiten der geometrischen Reihe", also [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}[/mm] (und nicht die Reihe aus der Aufgabenstellung).
Also: differenziere diese Gleichung, multipliziere mit x und du bist fertig
(Schau dir mal diesen ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Artikel an.)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 28.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Warum setzt du die rechte Seite der geometrischen Reihe gleich [mm] $\frac{1}{1-x}$ [/mm] und nicht gleich [mm] $\frac{x^{k+1}-1}{x-1}$, [/mm] was laut dem Artikel von Wikipedia der geometrischen Reihe entsprechen würde?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Weil das die Formel für die unendliche geometrische Reihe ist.
Deine Formel gilt für die endliche geometrische Reihe.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
