Beweis der hyperbolischen Cosi < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Linn |
| Aufgabe |
a) cosh(z)= 1/2 [mm] (e^z+e^{-z}) [/mm] und
b) sinh(z)= 1/2 [mm] (e^z-e^{-z})
[/mm]
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Hi!
Also Ich soll obiges beweisen.
Ich hab mich schon mal etwas schlau gemacht, aber überall finde ich es nur als Definition. Ich denke wir sollen das über die Potenzreihen beweisen. Doch auch da bleibe ich spätestens an diesem Punkt hängen:
Wie komme ich von
Summe (z^2n/2n!) zu 1/2*Summe [mm] ((z^n+ (-z)^n)/n!) [/mm] ?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=108774
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 30.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Linn
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> a) cosh(z)= 1/2 [mm](e^z+e^{-z})[/mm] und
> b) sinh(z)= 1/2 [mm](e^z-e^{-z})[/mm]
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> Hi!
> Also Ich soll obiges beweisen.
> Ich hab mich schon mal etwas schlau gemacht, aber überall
> finde ich es nur als Definition. Ich denke wir sollen das
> über die Potenzreihen beweisen. Doch auch da bleibe ich
> spätestens an diesem Punkt hängen:
> Wie komme ich von
> Summe (z^2n/2n!) zu 1/2*Summe [mm]((z^n+ (-z)^n)/n!)[/mm] ?
[mm]((z^n+ (-z)^n)/n!)=((z^{2n}+ z^{2n})/(2n)!+(z^{2n+1}-z^{2n+1})/(2n+1)!)[/mm]
d.h. du fasst die z mit gradem Exp. und ungeradem zusammen.
(bei sowas hilft immer die ersten 4 bis 5 Glieder explizit hinzuschreiben!
andere Möglichkeit durch die Dgl für cosh :f''=f hat die Lösungen [mm] Ae^x+Be^{-x} [/mm] dann die Anfangsbed. f(0)=1, f'(0)=0 einsetzen. und fertig!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Linn |
Danke schon mal! Das hab ich verstanden.
Ich hätte nun noch gern gewusst woher das (2n)! (bei cosh) bzw. das (2n+1)! (bei sinh) herkommt?! Hat das was mit der 1/2 zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Mo 30.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hät die Klammer richtig aufteilen müssen, (tu ich gleich noch)
bei [mm] z^{2n} [/mm] steht natürlich im Nenner (2n)! entspr bei den ungeraden.
die 1/2 brauchst du, weil du ja in der Klammer 2 mal die [mm] z^{2n} [/mm] hast.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Linn |
Super lieben Dank!
Jetzt hab ich's!
Gruß Linn
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