Beweis des Binom. Lehrsatzes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Strenni |
Erstmal vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mittlerweile denke ich, ich habe das Prinzip der Vollständigen Induktion doch nicht so wirklich kapiert, denn ich weiß ganz einfach nicht, wie ich bei meiner Aufgabe weitermachen soll; soweit sie denn im Ansatz überhaupt stimmt. Für nen kleinen Wink, oder das einfache Verständlichmachen, wär ich Euch sehr, sehr dankbar.
Genug geschwafelt, hier erstmal mein Lösungsansatz:
Es gelte [mm] (a+b)^{n}= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-1}b^{i} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Nun soll ich diesen Satz, also den Binomischen Lehrsatz, mittels Vollständiger Induktion beweisen.
Meine Vorüberlegung: Da der Satz für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelten soll, muss ich ja quasi "nur" beweisen, dass der Satz auch für n+1 gilt.
Gesagt, getan und n durch n+1 'ersetzt'.
[mm] (a+b)^{n+1}= \summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n}b^{i}
[/mm]
Nächster Schritt, Ausmultiplizieren:
[mm] (a+b)^{n+1}= \vektor{n+1 \\ 0} a^{n+1}b^{0}+\vektor{n+1 \\ 1} a^{n}b^{1}+\vektor{n+1 \\ 2} a^{n-1}b^{2}+...+\vektor{n+1 \\ n} a^{1}b^{n}+\vektor{n+1 \\ n+1} a^{0}b^{n+1}
[/mm]
Ich hoffe, das passt...
Aber wie gehe ich dann weiter vor? Ich seh da jetzt eigentlich nur noch ein Riesen-Zahlenwirrwarr vor mir und weiß nicht, was ich nun zu tun habe. :/
P.S.: Die Suchfunktion habe ich bemüht, aber leider nix Konkretes zu dem Thema gefunden. Wobei ich bemerkt habe, dass die Induktion allgemein ein recht ungeliebtes Kind der Mathematik zu sein scheint.
|
|
| |
|
Hallo Steffen,
das Prinzip der vollst. Induktion funktioniert in deinem Fall so wie immer:
Beweise die Aussage für n=1.
Folgere aus der Gültigkeit der Aussage für ein [mm]n=n_0[/mm] die Gültigkeit der Aussage für [mm]n=n_0+1[/mm].
Das Überprüfen für n=1 überlasse ich dir, den Übergang von [mm] n_0 [/mm] nach [mm] n_0+1 [/mm] kannst du erreichen, indem du rechnest:
[mm](a+b)^{n_0+1}=(a+b)\cdot(a+b)^{n_0}=\dots[/mm]
Für die Pünktchen musst du die als richtig angenommene Formel für [mm](a+b)^{n_0}[/mm] einsetzen und ausmultiplizieren, nach den Potenzen von a sortieren usw.
Ich hoffe, ich hab dir schon ein bisschen weiterhelfen können.
Die vollständige Induktion ist übrigens ein sehr beliebtes Beweismittel der Mathematik und bestimmt kein ungeliebtes Kind 
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Strenni |
Herzlichen Dank Hugo, daran werde ich mich gleich mal versuchen. Meine Lösung schreibe ich dann nochmal ins Forum, in der Hoffnung von Euch ein 'korrekt' zu ernten. :)
P.S.: n=1 einsetzen... ich glaube, daran hat's ganz einfach gehapert. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:50 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Strenni |
Also, ich versuch mich mal mit dem kompletten Beweis:
Es gelte [mm] (a+b)^{n}= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-i}b^{i} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Induktionsannahme: [mm] n=n_{0}=1
[/mm]
linke Seite: [mm] (a+b)^{1}=a+b
[/mm]
rechte Seite: [mm] \summe_{i=0}^{1} \vektor{1 \\ 0} a^{1-i}b^{i}= \vektor{1 \\ 0}a^{1}b^{0}+\vektor{1 \\ 1} a^{0}b^{1}
[/mm]
...= [mm] \bruch{1!}{0!}a+\bruch{1!}{1!}b=\bruch{1}{1}a+\bruch{1}{1}b=a+b
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b=a+b
Induktionsvoraussetzung: [mm] (a+b)^{n_{0}}
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] (a+b)^{n_{0}+1}= \summe_{i=0}^{n_{0}+1} \vektor{n_{0}+1 \\ i} a^{n_{0}+1-i}b^{i}
[/mm]
Induktionsbeweis:
[mm] (a+b)^{1+1}= \vektor{2 \\ 0}a^{2}b^{0}+\vektor{2 \\ 1}a^{1}b^{1}+\vektor{2 \\ 2}a^{0}b^{2}
[/mm]
[mm] (a+b)^{2}= \bruch{2!}{0!*(2-0)!}a^{2}+\bruch{2!}{1!*(2-1)!}ab+\bruch{2!}{2!*(2-2)!}b^{2}
[/mm]
[mm] (a+b)^{2}= \bruch{2*1}{1*2*1}a^{2}+\bruch{2*1}{1*1}ab+\bruch{2*1}{2*1*1}b^{2}
[/mm]
[mm] (a+b)^{2}= 1a^{2}+2ab+1b^{2}
[/mm]
[mm] (a+b)^{2}=(a+b)^{2}
[/mm]
Haut das in etwa so hin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Strenni,
> Also, ich versuch mich mal mit dem kompletten Beweis:
>
> Es gelte [mm](a+b)^{n}= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-i}b^{i}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN.
[/mm]
Nein, das gelte nicht, sondern das wollen wir zeigen!
> Induktionsannahme: [mm]n=n_{0}=1
[/mm]
>
> linke Seite: [mm](a+b)^{1}=a+b
[/mm]
>
> rechte Seite: [mm]\summe_{i=0}^{1} \vektor{1 \\ 0} a^{1-i}b^{i}= \vektor{1 \\ 0}a^{1}b^{0}+\vektor{1 \\ 1} a^{0}b^{1}
[/mm]
Kleiner Tippfehler deinerseits:
[mm]\summe_{i=0}^{1} \vektor{1 \\ i} a^{1-i}b^{i}=...[/mm]
muss nach rechte Seite: stehen!
>
>
> ...=
> [mm]\bruch{1!}{0!}a+\bruch{1!}{1!}b=\bruch{1}{1}a+\bruch{1}{1}b=a+b
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a+b=a+b
Für $n=1$ stimmt also die Behauptung! (Sie gilt übrigens auch für $n=0$, aber ich nehme an, dass ihr [mm] $\IN=\{1,2,3,...\}$ [/mm] definiert habt, also bei $1$ beginnend. Manchmal, besonders gerne in der Informatik, definiert man [m]\IN:=\{0,1,2,3,...\}[/m], aber ich kenne [mm] $\IN=\{1,2,3,...\}$ [/mm] und [m]\IN_0:=\{0,1,2,3,...\}=\{0\}\cup\IN[/m]. Das nur nebenbei!).
> Induktionsvoraussetzung: [mm](a+b)^{n_{0}}
[/mm]
Deine Induktionsvoraussetzung muss so lauten:
Es gelte [mm](a+b)^{n}= \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-i}b^{i}[/mm] für ein [mm] $n=n_0 \in \IN$. [/mm] (Du kennst ja eines schon aus der Induktionsverankerung!)
> Induktionsbehauptung: [mm](a+b)^{n_{0}+1}= \summe_{i=0}^{n_{0}+1} \vektor{n_{0}+1 \\ i} a^{n_{0}+1-i}b^{i}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , wobei ich das [mm] $n_0$ [/mm] durch $n$ ersetzt hätte. Mag aber auch Geschmackssache sein...
> Induktionsbeweis:
>
> [mm](a+b)^{1+1}= \vektor{2 \\ 0}a^{2}b^{0}+\vektor{2 \\ 1}a^{1}b^{1}+\vektor{2 \\ 2}a^{0}b^{2}
[/mm]
>
> [mm](a+b)^{2}= \bruch{2!}{0!*(2-0)!}a^{2}+\bruch{2!}{1!*(2-1)!}ab+\bruch{2!}{2!*(2-2)!}b^{2}
[/mm]
>
> [mm](a+b)^{2}= \bruch{2*1}{1*2*1}a^{2}+\bruch{2*1}{1*1}ab+\bruch{2*1}{2*1*1}b^{2}
[/mm]
>
> [mm](a+b)^{2}= 1a^{2}+2ab+1b^{2}
[/mm]
> [mm](a+b)^{2}=(a+b)^{2}
[/mm]
>
> Haut das in etwa so hin?
Nein, du zeigst ja nur, dass aus der Richtigkeit für $n=1$ die Richtigkeit für $n=2$ folgt, mehr nicht.
(Im Prinzip zeigst du noch nicht mal das:
Du rechnest nur nochmal die Induktionsannahme für $n=2$ nach, das ist nicht der Sinn der Induktion!)
Der Induktionsschritt von $n$ nach $n+1$ muss so aussehen (du mußt in der folgenden Gleichungskette von ganz links nach ganz rechts gelangen!):
[mm] ($\star$)[/mm] [m](a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=...=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n+1-i}b^{i}[/m],
wobei die ... in der Gleichungskette [mm] ($\star$) [/mm] durch geeignete Rechenschritte zu ergänzen sind (und man muss die Induktionsvoraussetzung einbringen, das mach ich nun auch einmal für dich:
[m](a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n\stackrel{Ind.-Vorauss.}{=}(a+b)\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-i}b^{i}=...=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n+1-i}b^{i}[/m]
(Die ... sollst du aber auch hier noch rausfinden!).)
Warum? Wenn du von $n$ auf $n+1$ schließen kannst, dann kannst du argumentieren:
Für $n=1$ gilt die Behauptung (Ind.-Verankerung.), wegen des Induktiosschrittes gilt sie dann auch für $n=2$.
Weil sie dann ja für $n=2$ gilt, gilt die Behauptung (wegen des Induktionsschrittes) auch für $n=3$.
Weil sie dann ja für $n=3$ gilt, gilt die Behauptung (wegen des Induktionsschrittes) auch für $n=4$.
Weil sie dann ja für $n=4$ gilt, gilt die Behauptung (wegen des Induktionsschrittes) auch für $n=5$.
.
.
.
Deshalb gilt die Behauptung für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:01 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
nur so nebenbei:
Ich habe des öfteren gehört, dass Leute, wenn sie sehen, dass sie so etwas lösen sollen:
[m](a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n\stackrel{Ind.-Vorauss.}{=}(a+b)\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-i}b^{i}=...=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n+1-i}b^{i}[/m]
verzweifeln und sagen, man kann doch die ... nicht raten. Das ist auch nicht unbedingt notwendig (mit der Zeit bekommt man auch einen gewissen Blick, eben aus Erfahrung, aber das ist jetzt egal! ), wenn man anstatt einer Gleichungskette das ganze strategisch mit Äquivalenzen angeht:
Wir wollen zeigen:
[m](a+b)^{n+1}=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n+1-i}b^{i}[/m]
Dann fängt man an:
[m](a+b)^{n+1}=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n+1-i}b^{i}[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m](a+b)(a+b)^n=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i} a^{n+1-i}b^{i}[/m]
[mm] $\stackrel{Induktionsvoraussetzung}{\gdw}$
[/mm]
[m](a+b)\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^{n-i}b^{i}=\summe_{i=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ i}a^{n+1-i}b^{i}[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
.
.
.
[mm] $\gdw$
[/mm]
$0=0$ (Oder einer sonst bekannten wahren Gleichung/Aussage! Der eigentliche Beweis ist dann von unten nach oben zu lesen!)
Es ist jedenfalls oft sehr nützlich, wenn man diese Strategie zum Lösen solcher Aufgaben heranzieht (sicherlich nicht immer, bei Ungleichungen, die mit Induktion bewiesen werden sollen, wird man vermutlich an eine Stelle kommen, wo man eine andere bekannte Ungleichung heranziehen muss und daraus dann durch Folgerungen den Induktionsschritt zeigen muss, aber meist ist es doch sinnvoll, gewisse Äquivalenzumformungen zu machen bis zu einer gewissen Stelle. Ich denke und hoffe jedenfalls, dass diese Strategie dir hier helfen wird, um die ... herauszufinden!  ).
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Di 19.10.2004 | | Autor: | Strenni |
Ich danke Dir ganz herzlich, Marcel. Daran sehe ich doch, dass wirklich noch einiges im Argen bei mir liegt, was die Induktion betrifft. Ich hoffe, dass ich 'diesen gewissen Blick' mit der Zeit auch bekomme, wenn ich etwas routinierter an solche Aufgaben herangehe. Bis dahin sag ich nochmal 'Herzlichen Dank' und wünsche Dir und allen anderen Forenteilnehmen nen geruhsamen Fußball-Abend. ;)
Ciao, ciao
Strenni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Strenni,
bei Problemen kannst du dir auch diese Diskussion [mm] ($\leftarrow$einfach draufklicken) mal angucken.
Liebe Grüße
Marcel
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Strenni |
Danke für den Link, Marcel. Macht echt Spaß, in diesem Forum zu sein! :)
|
|
|
|
