Beweis des Distributivgesetzes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Halli hallo!!!
Ich habe folgende Aufgabe:
Beweisen sie oder widerlegen sie durch ein Gegenbeispiel die folgenden Gleichungen für Mengen A,B,C.
a ) A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C ) = ( A [mm] \cap [/mm] B ) [mm] \cup [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] c )
b ) A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C ) = ( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C )
Ich weiß dass beide Gleichungen stimmen, da einfach nur das Distributivgesetz angewandt wurde. Aber wie beweise ich das????
Es reicht ja sicher nicht wenn ich schreibe : Stimmt da das Distributivgesetz angewandt wurde, oder???
Bitte helft mir!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheboard.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo RoteSpinne!
> Halli hallo!!!
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> Ich habe folgende Aufgabe:
>
> Beweisen sie oder widerlegen sie durch ein Gegenbeispiel
> die folgenden Gleichungen für Mengen A,B,C.
>
>
> a ) A [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] C ) = ( A [mm]\cap[/mm] B ) [mm]\cup[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] c
> )
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> b ) A [mm]\cup[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] C ) = ( A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\cap[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] C
> )
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> Ich weiß dass beide Gleichungen stimmen, da einfach nur das
> Distributivgesetz angewandt wurde. Aber wie beweise ich
> das????
> Es reicht ja sicher nicht wenn ich schreibe : Stimmt da
> das Distributivgesetz angewandt wurde, oder???
Nö, das reicht nicht, denn du sollst ja gerade das Distr.-Gesetz für Mengen beweisen; also den Beweis führen, dass das Distr.-Gesetz bei Mengen (so, wie in der Aufgabe formuliert) gilt.
Dazu beachte:
Es gilt doch für zwei Mengen $X,Y$:
$X=Y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$.
Ich beweise dir mal die a), den Teil b) machst du dann selber:
Zu zeigen:
[mm]A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C)[/mm]
Wir zeigen zunächst:
1.) [mm]A \cap ( B \cup C ) \subseteq ( A \cap B ) \cup ( A \cap C)[/mm]
Sei dazu $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C))$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] A$ und ($x [mm] \in [/mm] B$ oder $x [mm] \in [/mm] C$).
1. Fall:
$x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$
[m]\stackrel{da\;(A \cap B) \subseteq ((A \cap B) \cup (A \cap C)) }{\Longrightarrow}[/m]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$.
2. Fall:
$x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$
[m]\stackrel{da\;(A \cap C) \subseteq ((A \cap B) \cup (A \cap C)) }{\Longrightarrow}[/m]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$.
In allen Fällen folgt also auch $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$, also gilt:
[mm]A \cap ( B \cup C ) \subseteq ( A \cap B ) \cup ( A \cap C)[/mm].
Nun zeigen wir:
2.) [mm]( A \cap B ) \cup ( A \cap C) \subseteq A \cap ( B \cup C)[/mm]
Sei dazu $x [mm] \in [/mm] (( A [mm] \cap [/mm] B ) [mm] \cup [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] C))$.
1. Fall:
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
[mm] $\stackrel{da\;B\subseteq (B \cup C)}{\Longrightarrow}$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap(B \cup [/mm] C)$.
2.Fall:
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C$
[mm] $\stackrel{da\;C \subseteq (B \cup C)}{\Longrightarrow}$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap(B \cup [/mm] C)$.
In allen Fällen gilt also auch bei 2.), dass auch $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap(B \cup [/mm] C)$ folgt. Also gilt:
[mm]( A \cap B ) \cup ( A \cap C) \subseteq A \cap ( B \cup C)[/mm].
Wegen 1.) (das war [mm]A \cap ( B \cup C ) \subseteq ( A \cap B ) \cup ( A \cap C)[/mm]) und 2.) (das war [mm]( A \cap B ) \cup ( A \cap C) \subseteq A \cap ( B \cup C)[/mm]) folgt:
[mm]A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C)[/mm].
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Fr 06.05.2005 | | Autor: | rotespinne |
Hi!
Ich bedanke mich ganz herzlich für die schnelle antwort!Ist ja eine ganze Menge was ich da tun muss. Ich werde mir deinen BEweis zu a nun einmal zu Gemüte führen und hoffen, dass ich ihn verstehen werde und die Aufgabe b bearbeiten kann :)
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Ich bin nocheinmal kurz vor der Verzweifelung! Und zwar bin ich gerdae dabei den Beweis für folgende Gleichung zu versuchen, habe aber leider schon wieder einen Hänger und weiß nicht weiter :
A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] c ) = ( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C )
Ich habe nun folgendes gemacht:
Zunächst zeige ich :
A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \subseteq [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C )
Sei dazu:
x [mm] \varepsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] c )
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] A ODER x [mm] \varepsilon [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )
So , aber jetzt komme ich einfach nicht weiter. Stimmt es bis dahin überhaupt? Ich bin schon wieder völlig durcheinander und bitte um Hilfe!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 08.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rotespinne!
> Ich bin nocheinmal kurz vor der Verzweifelung! Und zwar bin
> ich gerdae dabei den Beweis für folgende Gleichung zu
> versuchen, habe aber leider schon wieder einen Hänger und
> weiß nicht weiter :
>
> A [mm]\cup[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] c ) = ( A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\cap[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] C )
>
>
>
> Ich habe nun folgendes gemacht:
> Zunächst zeige ich :
>
> A [mm]\cup[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] C ) [mm]\subseteq[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\cap[/mm] ( A
> [mm]\cup[/mm] C )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei dazu:
>
> x [mm]\varepsilon[/mm] A [mm]\cup[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] c )
Benutze doch bitte den Befehl [mm] [nomm]$\in$[/nomm] [/mm] (liefert [mm] $\in$) [/mm] anstelle des [mm] [nomm]$\varepsilon$[/nomm]!
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] A ODER x [mm]\varepsilon[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] C
> )
>
> So , aber jetzt komme ich einfach nicht weiter. Stimmt es
> bis dahin überhaupt? Ich bin schon wieder völlig
> durcheinander und bitte um Hilfe!!!!!!!!!
Ja, das stimmt. Und nun machst du eine Fallunterscheidung:
1. Fall:
$x [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt aber auch [m]x \in ((A \cup B) \cap (A \cup C))[/m] (denn::
Es gilt
1.) $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und
2.) $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$ und daher gilt auch:
$A [mm] \subseteq [/mm] ((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C))$.)
2. Fall:
$x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$. Dann gilt, dass:
$x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] C$ ist. So, und nun ist ja $B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und $C [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$, also was folgt für unser $x$?
Viele Grüße,
Marcel
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was für das x folgt weiß ich ja leider nicht :( irgendwie stehe ich total auf dem schlauch leider :(
aber ich bedanke mich schonmal für die schnelle antwort!!!!!!!!! :) wenn es dich nicht gäbe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 So 08.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Katja!
> was für das x folgt weiß ich ja leider nicht :( irgendwie
> stehe ich total auf dem schlauch leider :(
> aber ich bedanke mich schonmal für die schnelle
> antwort!!!!!!!!! :) wenn es dich nicht gäbe....
Vielleicht schreibe ich es einmal ganz ausführlich:
2. Fall:
$x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$. Dann gilt (nach Defintion des Durchschnitts), dass:
$x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] C$ ist. So, und nun gilt ja:
(i) $B [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$,
(ii) $C [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$.
D.h. nun, es gilt folgendes:
$x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$
[mm] $\stackrel{Def.\;des\;Durchschnitts}{\Longrightarrow}$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] B [mm] \stackrel{(i)}{\subseteq} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und $x [mm] \in [/mm] C [mm] \stackrel{(ii)}{\subseteq} [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$
[mm] $\stackrel{Def.\;des\;Durchschnitts}{\Longrightarrow}$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C))$.
Viele Grüße,
Marcel
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das habe ich nun soweit verstanden :) aber ist der beweis nun damit schon fertig???? oder mit welchem element muss ich weitermachen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 So 08.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Katja!
> das habe ich nun soweit verstanden :)
> aber ist der beweis
> nun damit schon fertig???? oder mit welchem element muss
> ich weitermachen??
Wir haben damit bisher gezeigt, dass gilt:
(I) [mm]A \cup ( B \cap C ) \subseteq ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )[/mm].
Es bleibt noch zu zeigen:
(II) [mm]( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \subseteq A \cup ( B \cap C ) [/mm]
Erst, wenn du (II) auch gezeigt hast, kannst du ja aus (I) und (II) folgern, dass:
[mm]A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )[/mm].
Viele Grüße,
Marcel
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Dann schau doch bitte mal drüber ob ich es so richtig mache, ja???
Es sei x [mm] \varepsilon [/mm] ( ( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C )
1. Fall :
x [mm] \varepsilon [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B )
da B [mm] \subseteq [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )
x [mm] \varepsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )
2. Fall:
x [mm] \varepsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] C
da C [mm] \subseteq [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )
x [mm] \varepsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )
In allen Fällen gilt: x [mm] \varepsilon [/mm] A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C ) also gilt : ( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C ) [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )
Und bis wohin stimmt das jetzt????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 08.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Katja!
> Dann schau doch bitte mal drüber ob ich es so richtig
> mache, ja???
>
> Es sei x [mm]\varepsilon[/mm] ( ( A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\cap[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] C )
Ab hier kannst du keine Fallunterscheidung (so, wie du es gemacht hast:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ "oder" $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$ ) machen, weil das $x$ ja nicht in der Vereinigung von $(A [mm] \cup [/mm] B)$ mit $(A [mm] \cup [/mm] C)$ liegt, sondern in dem Durchschnitt!
(Sind $X,Y$ Mengen, so gilt ja:
$x [mm] \in [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$x [mm] \in [/mm] X$ oder $x [mm] \in [/mm] Y$. Dabei unterscheidet man also Fälle.
Im Unterschied dazu gilt aber bei dem Durchschnitt:
$x [mm] \in [/mm] X [mm] \cap [/mm] Y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \in [/mm] Y$. Das heißt, dass das $x$ genau dann in dem Durchnitt von $X$ und $Y$ liegt, wenn das $x$ gleichzeitig in der Menge $X$ und in der Menge $Y$ liegt!)
Daher gehst du nun wie folgt vor:
Sei $x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C))$
[mm] $\stackrel{Def.\;des\;Durchschnitss}{\Longrightarrow}$ [/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ und $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$.
So, und hier bietet es sich nun (aus Gründen der Logik) an, eine Fallunterscheidung wie folgt zu machen:
1.Fall:
$x [mm] \in [/mm] A$. Dann gilt aber auch wegen $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$.
2.Fall: $x [mm] \notin [/mm] A$. Wenn nun aber $x [mm] \notin [/mm] A$ gilt, aber dennoch $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$, so muss $x [mm] \in [/mm] B$ gelten.
Wenn nun aber auch $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$ gilt (beachte, dass weiterhin $x [mm] \notin [/mm] A$ gilt), so muss auch $x [mm] \in [/mm] C$ gelten.
Mit anderen Worten:
Es kann nur $x [mm] \notin [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)$ gelten, wenn gilt:
$x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] C$.
Dann gilt aber (nach Definition des Durchschnitts $B [mm] \cap [/mm] C$):
$x [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] C$.
Nun gilt aber $(B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$, also gilt:
$x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$, also:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$.
In allen Fällen folgt also auch $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$, also folgt:
$ (( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \cap [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C )) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C )) $.
PS:
> da B $ [mm] \subseteq [/mm] $ ( B $ [mm] \cap [/mm] $ C )
Das ist falsch. Was gilt, ist $B [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$. Weiter gelten auch folgende Beziehungen:
1.) $(B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] B$
2.) $(B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] C$
> da C $ [mm] \subseteq [/mm] $ ( B $ [mm] \cap [/mm] $ C )
Natürlich ist auch das falsch, analog zu dem eben erwähnten. Verwechselst du evtl. öfters das [mm] $\cup$-Zeichen [/mm] (Vereinigungszeichen) mit dem [mm] $\cap$-Zeichen [/mm] (Durchschnittszeichen)?!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 So 08.05.2005 | | Autor: | rotespinne |
oh man, bis ich das mal verstehen werde.... aber eigentlich ist es ja logisch, aber an solche kleinigkeiten denke ich nie und dann ist immer alles falsch. :( man man man. aber tausend dank!!!!!!!
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