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| Aufgabe | Aufgabe 3
Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] k , k [mm] \in [/mm] N beliebig.
Dabei ist [mm] \vektor{n \\ k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] mit 0! = 1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo =) ,
ich habe Probleme mit der Aufgabe. Wenn ich den Induktionanfang mit n=1, da die 0 bei uns nicht zu den natürlichen Zahlen gehört, durchführe, kommt 1=1 raus und das stimmt, aber dann komme ich ja zu dem Induktionsschritt:
[mm] \vektor{n+2 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k}
[/mm]
Jetzt versuche ich ja zu zeigen durch verschiedene Umformungen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung identisch sind. Hier komme ich nicht weiter. Man kann ja sagen:
[mm] \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k} [/mm] =( [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] ) + [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] = ( [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] ) + 1
stimmt das so weit?
auf Grund der Induktionsvoraussetzung könnte ich dann sagen:
( [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] ) + 1 = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] +1
Jetzt muss ich zeigen:
[mm] \vektor{n+2 \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] +1
Hier ist jetzt mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das am besten umformen kann, damit die Gleichheit gezeigt ist. Ich habe versucht [mm] \vektor{n \\ k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] anzuwenden:
[mm] \bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! (n+1)}{k! (k+1) (n-k)!} [/mm] + 1
Jetzt habe ich versucht die beiden Brüche auf der rechten Seite gleichnamig zu machen und unter einen Bruchstrich zu schreiben:
[mm] \bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! (n+1) + k! (k+1) (n-k)!}{k! (k+1) (n-k)!}
[/mm]
Weiter komme ich nicht, ich hoffe mir kann jemand helfen =)
lg =)
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Hallo mathemaus2010,
> Aufgabe 3
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm]\vektor{n+1 \\
k+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\
k}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] k , k [mm]\in[/mm]
> N beliebig.
>
> Dabei ist [mm]\vektor{n \\
k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] mit 0! =
> 1.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo =) ,
>
> ich habe Probleme mit der Aufgabe. Wenn ich den
> Induktionanfang mit n=1, da die 0 bei uns nicht zu den
> natürlichen Zahlen gehört, durchführe, kommt 1=1 raus
> und das stimmt, aber dann komme ich ja zu dem
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\vektor{n+2 \\
k+1}[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\
k}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt versuche ich ja zu zeigen durch verschiedene
> Umformungen, dass die linke und die rechte Seite der
> Gleichung identisch sind. Hier komme ich nicht weiter. Man
> kann ja sagen:
>
> [mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\
k}[/mm] =( [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\
k}[/mm] ) + [mm]\vektor{n+1 \\
n+1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das k ist doch fest, da muss also stehen [mm]...=\left[ \ \sum\limits_{m=k}^n\vektor{m\\
k} \ \right] \ + \ \vektor{n+1\\
k}[/mm]
Nun kannst du auf die erste Summe die IV loslassen, das ist also
[mm]=\vektor{n+1\\
k+1} \ + \ \vektor{n+1\\
k}[/mm]
Und das ist doch [mm]=\vektor{n+2\\
k+1}[/mm]
Gemäß der Formel: [mm]\vektor{n\\
k}=\vektor{n-1\\
k-1}+\vektor{n-1\\
k}[/mm]
Fertig!
> = ( [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\
k}[/mm] ) + 1
>
> stimmt das so weit?
Leider nicht!
>
> auf Grund der Induktionsvoraussetzung könnte ich dann
> sagen:
>
> ( [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\
k}[/mm] ) + 1 = [mm]\vektor{n+1 \\
k+1}[/mm]
> +1
>
> Jetzt muss ich zeigen:
>
> [mm]\vektor{n+2 \\
k+1}=\vektor{n+1 \\
k+1}[/mm] +1
>
> Hier ist jetzt mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich
> das am besten umformen kann, damit die Gleichheit gezeigt
> ist. Ich habe versucht [mm]\vektor{n \\
k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
> anzuwenden:
>
> [mm]\bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{n! (n+1)}{k! (k+1) (n-k)!}[/mm]
> + 1
>
> Jetzt habe ich versucht die beiden Brüche auf der rechten
> Seite gleichnamig zu machen und unter einen Bruchstrich zu
> schreiben:
>
> [mm]\bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{n! (n+1) + k! (k+1) (n-k)!}{k! (k+1) (n-k)!}[/mm]
>
> Weiter komme ich nicht, ich hoffe mir kann jemand helfen
> =)
>
> lg =)
>
Gruß
schachuzipus
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ja stimmt, das habe ich nicht beachtet . dankeschön =)
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