Beweis durch Mittelwertsatz < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes dass für alle x [mm] \in ]0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] folgendes gilt:
0 [mm] \le e^{sin(x)} \le [/mm] 1+ex |
Nun meine Überlegung:
Der Mittelwertsatz lautet ja:
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] = [mm] f'(\varepsilon)
[/mm]
Folgende Werte habe ich gegeben:
b= [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
a=0
[mm] f'(x)=(e^{sin(x)})'
[/mm]
[mm] f'(x)=cos(x)*e^{sin(x)}
[/mm]
die habe ich nun eingesetzt
[mm] \bruch{f(\bruch{\pi}{2})- f(0)}{\bruch{\pi}{2}}= cos(x)*e^{sin(x)} [/mm]
[mm] \bruch{e-1}{\bruch{\pi}{2}}= cos(x)*e^{sin(x)} [/mm] |* [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
e-1 = [mm] cos(x)*e^{sin(x)}* \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Nun weiß ich aus der Aufgabe das
0 [mm] \le e^{sin(x)} \le [/mm] 1+ex also muss [mm] \varepsilon \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
also setze ich für x [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ein, daraus folgt dann die Ungleichung:
e-1 [mm] \le (cos(\bruch{\pi}{2})*e^{sin(\bruch{\pi}{2}}))*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] ist aber 0
also wäre die Gleichung
e-1 [mm] \le [/mm] 0
das ergibt doch aber keinen Sinn. die Bedingung
0 [mm] \le e^{sin(x)} \le [/mm] 1+ex
habe ich somit nicht nachgewiesen, wo ist mein Denkfehler?
Ich habe versucht mich an einem Beispiel aus der Uni zu halten.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mi 03.12.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Skalar85,
Du bist mit deinem Ansatz etwas über das Ziel hinausgeschossen indem Du auf der linken Seite beide Grenzen des Intervalles eingesetzt hast; eine Variable braucht man noch. Ausserdem solltest Du die beiden Ungleichungen getrennt betrachten, also erst mal die rechte:
[mm] \bruch{e^{sin(x)} - 1}{x - 0} [/mm] = [mm] cos(\xi)*e^{sin(\xi)} [/mm] mit [mm] \xi \in ]0,\pi/2]
[/mm]
Dies ist der Ansatz gemäss Mittelwertsatz und jetzt zunächst nach [mm] e^{sin(x)} [/mm] auflösen und dann nach oben abschätzen indem Du die Monotonie von sin, cos und exp in [mm] [0,\pi/2] [/mm] ausnutzt.
Die andere Ungleichung ist eigentlich klar, da die Exponentialfunktion immer positiv ist. Man kann aber schärfer zeigen, dass auf dem besagten Intervall sogar
1 [mm] \le e^{sin(x)} [/mm] ist.
Dies schafft man mit demgleichen Ansatz wie oben, nur dass man jetzt nach unten abschätzen muss.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
Vielen Dank werde ich morgen gleich mal austesten ;)
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