Beweis durch vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe:
Eine natürliche Zahl m heißt Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl k gibt, mit m=k².
Zeigen Sie: Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist
1³+2³+3³+...+n³
eine Quadratzahl. (Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion.) |
Hallo,
Eigentlich komme ich mit der vollst. Induktion gut zurecht, aber hier stecke ich fest.
Ich bin jetzt bei 1³+2³+3³+...+n³ = k²
und dann n -> n+1
also 1³+2³+3³+...+n³ + (n+1)³ = k² + (n+1)³
Und normalerweise habe ich ja jetzt immer die linke Seite so umgeformt, dass für n n+1 in der Formel stand, aber hier ist ja gar keines drin... oder muss ich mit n-1 arbeiten?
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zahlenmaus, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Aufgabe ist ein bisschen hinterlistig.
Ich sehe nicht, wie Du das zeigen kannst, ohne die Summenformel zu kennen bzw. zu finden.
Das ist aber glücklicherweise einfach.
Schauen wir uns mal die ersten paar Ergebnisse an.
[mm] 1^3=\blue{1}^2
[/mm]
[mm] 1^3+2^3=\blue{3}^2
[/mm]
[mm] 1^3+1^3+3^3=\blue{6}^2
[/mm]
[mm] 1^3+2^3+3^3+4^3=\blue{10}^2
[/mm]
[mm] 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\blue{15}^2
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
Die blauen Zahlen, die da rechts quadriert werden, sollten Dir bekannt vorkommen. Sie heißen Dreieckszahlen:
[mm] 1=\blue{1}
[/mm]
[mm] 1+2=\blue{3}
[/mm]
[mm] 1+2+3=\blue{6}
[/mm]
[mm] 1+2+3+4=\blue{10}
[/mm]
[mm] 1+2+3+4+5=\blue{15}
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
Dabei ist die n-te Dreieckszahl [mm] a_n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Diese Formel darfst Du (hoffe ich) als bekannt voraussetzen.
C.F.Gauß hat sie angeblich schon als Grundschüler gefunden. 
Es steht also zu vermuten, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3=\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2 [/mm] ist.
Das kannst Du nun ziemlich leicht per Induktion zeigen.
Grüße
reverend
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