Beweis e und e^{2} zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:35 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man beweise:
1. [mm] $(1+\frac{1}{n})^{n} \rightarrow [/mm] e $ für [mm] $n\rightarrow \infty$
[/mm]
(wobei [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} \rightarrow [/mm] e $ verwendet werden soll. )
2.
a) Man zeige: $lim [mm] (1+\frac{2}{n})^{n}=e^{2}$
[/mm]
b) $lim [mm] (1-\frac{1}{n})^{n}=\frac{1}{e}$
[/mm]
c) [mm] $lim(1+\frac{1}{2n})^{n}=\sqrt{e}$
[/mm]
d) Was kann man über [mm] $lim(1-\frac{1}{n^{2}})^{n}$ [/mm] sagen? |
Hallo,
1.
Sei
[mm] $a_{n}:= (1+\frac{1}{n})^{n}$ $b_{n} [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
[/mm]
Mit dem Binoimailischen Lehrsatz folgt dann für
[mm] $a_{n}= 1+1+\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})...+ \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{n-1}{n})$
[/mm]
damit folgt : [mm] $a_{n} \le b_{n} [/mm] \ [mm] \forall n\ge [/mm] N $ und damit auch $ [mm] \limsup a_{n} \le [/mm] e$
jetzt für [mm] $m\ge [/mm] n$ :
[mm] $a_{n}\ge 1+1+(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{m!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{m-1}{n})$
[/mm]
für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] ist dann:
[mm] $\liminf a_{n} \ge 1+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{m!}$
[/mm]
für [mm] $m\rightarrow \infty$ [/mm] gilt: [mm] $a_{n} \ge [/mm] e $
damit muss: e [mm] \le [/mm] lim [mm] a_{n} \le [/mm] e
Stimt das sO??
Das für [mm] $a_{n}\le b_{n}$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] N [mm] \in \IN$ [/mm] folgt : [mm] $\limsup a_{n} \le \limsup b_{n} [/mm] = e $ bzw [mm] $\liminf a_{n} \le \liminf b_{n}$ [/mm] habe ich nicht bewiesen, wie zeigt man das??
2.
Sehe ich nicht wie ich anfangen soll...! Binomialsatz anwenden und dann wieder limsup liminf ?
Gibt es schnellere Möglichkeiten?
Ich danke für jegliche Hilfestellung!
Gruss
kushkush
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Hallo,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach auf Seite 4 f.
Da sollte helfen.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Blasco,
> schau hier bei 4f
mit [mm] $\lim (1+\frac{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] e^{x}$
[/mm]
folgen 2. a),b),c) sofort. Für 2.d)
gilt (oder man sagt es entspricht $ [mm] lim(1-\frac{1}{n^{2}}) [/mm] = [mm] \lim e^{-1/n} [/mm] = 1$ ) :
sei $ [mm] a_{n}:= (1-\frac{1}{n^{2}})^{n}$
[/mm]
mit dem binomischen Lehrsatz folgt sofort :
$ 1- [mm] \frac{1}{n} \le a_{n} \le [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n}+...(-1)^{n}(\frac{1}{n^{2}})^{n} [/mm] $
mit $ [mm] n\rightarrow \infty$ [/mm] folgt : $1 [mm] \le a_{n\rightarrow \infty} \le [/mm] 1 $.
> Viele Grüsse
Danke!
Gruss
kushkush
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