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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Beweis e^(x+y) mit AWP
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Beweis e^(x+y) mit AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 So 09.10.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Beweisen Sie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion [mm] $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] aus der eindeutigen Lösbarkeit eines AWPs.


Hallo!


Mit $exp(x) = f(x)$ , sei $f(x)=f'(x)$ mit $f(0)=1 $ ein AWP. Ist nun $g(x):= f(-x)f(x)$, dann ist  $g'(x) = 0$ und wegen $f(0)=1$ ist $g(x) = f(-x)f(x) = 1$. Sei jetzt q(x) eine weitere Lösung des AWPs. dann muss $g'(x) = [mm] (\frac{f(x)}{q(x)})' [/mm] = [mm] f'(x)(q(x))^{-1} [/mm] - [mm] q'(x)f(x)(q(x))^{-2} [/mm] = 1 $ sein.  

Da g(x) konstant, muss $q(x)=cf(x) $ entsprechen. Ist nun q(x) = [mm] e^{x+y} [/mm] = [mm] ce^{x}. [/mm] Mit x=0 folgt [mm] $c=e^{y}$ [/mm] und damit [mm] $e^{x+y}=ce^{x} [/mm] = [mm] e^{y}e^{x}$ [/mm]


Reicht das so?



Bin für jegliche Korrektur sehr dankbar!


Gruss
kushkush

        
Bezug
Beweis e^(x+y) mit AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 Mo 10.10.2011
Autor: pemal

Finde die Aufgabe etwas krank ...

Ich wuerde so argumentieren: Das AWP

[mm] f' = f, \quad f(0)=e^y [/mm]

hat die Loesung [mm] f(x)=e^x e^y [/mm]. Dass die Loesung eindeutig ist, sollst Du bestimmt schon wissen und hier nicht zeigen.

Da [mm] g(x) = e^{x+y} [/mm] wegen der Kettenregel ebenfalls eine Loesung des AWPs ist, muss [mm] f \equiv g [/mm] sein, mithin also

[mm] e^x e^y = e^{x+y} [/mm] fuer alle [mm] x,y [/mm].

Wo kann man schon Differentialgleichungen loesen, kennt aber nicht mal das Additionstheorem der Exponentialfunktion?

Bezug
                
Bezug
Beweis e^(x+y) mit AWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Mo 10.10.2011
Autor: kushkush

Hallo,

> Wo kann man schon Differentialgleichungen loesen, kennt aber nicht mal das > > Additionstheorem der Exponentialfunktion?

man kann nie genug Beweise kennen.




Vielen Dank.


Gruss
kushkush

Bezug
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