Beweis: einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 27.11.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | [mm] a_n>0 [/mm] ist eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}=q. [/mm] Jetzt soll ich zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)^\bruch{1}{n}=q [/mm] ist |
was beudeutet [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}=q. [/mm] genau, heißt das, dass wenn [mm] (a_n) [/mm] zb. die folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist, dass dann [mm] (a_{n+1}) [/mm] die folge [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ist?
wenn ja, glaube ich würde die folge passen: [mm] a_n=q^n, [/mm] oder?
|
|
| |
|
Hallo anabiene,
> [mm]a_n>0[/mm] ist eine Folge mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}=q.[/mm] Jetzt
> soll ich zeigen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)^\bruch{1}{n}=q[/mm] ist
>
> was beudeutet [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}=q.[/mm] genau,
> heißt das, dass wenn [mm](a_n)[/mm] zb. die folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist, dass dann [mm](a_{n+1})[/mm] die folge [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] ist?
Nein! [mm] a_{n+1} [/mm] ist das Folgenglied, dass nach [mm] a_n [/mm] in der Folge [mm] (a_n) [/mm] kommt.
Der Quotient aufeinanderfolgender Folgenglieder konvergiert hier also gegen q.
>
> wenn ja, glaube ich würde die folge passen: [mm]a_n=q^n,[/mm] oder?
Es geht nicht darum, eine passende Folge zu finden! Die Aussage soll für alle Folgen gezeigt werden, für die die Voraussetzung erfüllt sind.
Tipp für die Aufgabe:
[mm] a_n=a_0\prod_{i=1}^n\frac{a_n}{a_{n-1}}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 27.11.2011 | | Autor: | anabiene |
achso... bei je 2 aufeinanderfolgende folgengliedern konvergiert ihr quotient gegen q...
mit dem tipp hab ich so meine schwierigkeiten. [mm] a_n=a_0\prod_{i=1}^n\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_0\bruch{ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_{n-1}\cdot a_n}{a_0\cdot a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_{n-1}} [/mm] kommt ja [mm] a_n [/mm] wieder raus am ende, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, sonst wär das = ja falsch, aber jetzt hast du [mm] a_n [/mm] durch Quotienten ersetzt.
und über [mm] a_n [/mm] willst du ja was wissen und über die Quotienten weiss du was.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 27.11.2011 | | Autor: | anabiene |
[mm] a_k=a_0\prod_{i=1}^k\frac{a_k}{a_{k-1}}=a_0\bruch{ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_{k-1}\cdot a_k}{a_0\cdot a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_{k-1}}=q\cdot q\cdot [/mm] ... [mm] \cdot q\cdot a_0 [/mm] = [mm] q^k\cdot a_0
[/mm]
danke für eure antworten  warum macht es bei mir nicht klick?! könnt ihr mir nochmal weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Mo 28.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist nicht [mm] a_5/a_4= [/mm] q sondern nur der GW von [mm] a_{n+1}/a_n=q
[/mm]
deshalb ist dine kette falsch.
Gruss leduart
|
|
|
|
