Beweis einer Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Di 20.11.2007 | | Autor: | Namisan |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Rekursionsfolge [mm] (x_{n})_{n\inN} [/mm] gegeben durch die [mm] Vorschrift:x_{0} [/mm] = 1 und [mm] x_{n+1} [/mm] = 1 + [mm] 1/x_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie: Mit dem goldenen Schnitt g = [mm] (1+\wurzel[]{5})/2 [/mm] , der positiven Lösung der Gleichung [mm] x^{2} [/mm] − x − 1 = 0, gilt:
[mm] |x_{n} [/mm] − g| [mm] \le 1/(g^{n+1}) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=g. [/mm] |
Hi, ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe einen Ansatz gefunden der mich zur Lösung bringt. Aber ob diese Beweisführung nun korrekt ist. Das ist meine Frage.
Also ich kann annehmen das g der Grenzwert von xn ist und daraus folgt also das g>1 sein muss.
Daraus kann ich mit g herzaubern indem ich sage:
[mm] g=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}1+1/x=1+1/\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1+1/g
[/mm]
Induktionsanfang n [mm] \to [/mm] 0:
[mm] |x_{0}-g|=|x_{0}-(1+1/g)|=1/g
[/mm]
Induktionsschritt [mm] n\ton+1:
[/mm]
[mm] |x_{n+1}-g|=|(1+1/x_{n})-g|
[/mm]
[mm] =|(1+1/x_{n})-(1+1/g)|
[/mm]
[mm] =|1+1/x_{n}-1-1/g|
[/mm]
[mm] =|1/x_{n}-1/g|
[/mm]
[mm] \le (|g-x_{n}|)/g*x_{n}
[/mm]
[mm] |x_{n+1}-g| \le (|g-x_{n}|)/g*x_{n} [/mm]
Induktionsvorraussetzung:
[mm] |x_{n}-g| \le [/mm] 1 [mm] /g^{n+1}
[/mm]
[mm] x_{n} \ge [/mm] 1 [mm] \forall \in \IN
[/mm]
[mm] |x_{n+1}-g|\le1/g^{n+2}*x_{n} [/mm]
[mm] |x_{n+1}-g|\le1/g^{n+2}
[/mm]
Damit wäre [mm] |x_{n}-g|\le(1)/g^{n+1} [/mm] gezeigt und wegen g>1 divergiert [mm] g^{n+1} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und damit ist [mm] 1/g^{n+1} [/mm] eine Nullfolge. Daraus folgt das auch [mm] |x_{n}-g| [/mm] eine Nullfolge ist und g der Grenzwert.
Was meint ihr dazu?
Bin für jede Meinung dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider ist dein Vorgehen falsch. g ist NICHT als GW definiert, sondern wie in der Aufgabe als Lösung der quadr. Gleichung . Du sollst ja gerade Beweisen, dass die Folge [mm] x_n [/mm] konvergiert, du setzest das aber vorraus!
also musst du erst zeigen g=1+1/g, aus der Def. dann denk ich läuft deine Induktion etwa genauso wie dus machst. und als Ende hast du dann wegen g>1 die Konvergenz und kannst damit dann zeigen dass der Gw g ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 20.11.2007 | | Autor: | Namisan |
Wenn ich allerdings jetzt ANNEHME das g ein Grenzwert ist und dann g=1+1/g setze. Dann kann ich ja g=1+1/g mit g multiplizieren.
Daraus folgt [mm] g^{2}=g+1
[/mm]
Diese kann ich als quadratische gleichung schreiben wie in der aufgabenstellung [mm] :g^{2}-g-1 [/mm] und das wandle ich um in [mm] g^{2} [/mm] + g + 1/4 =0 und kriege dann das in der Aufgabenstellung gegegben g raus . das g= [mm] (1+\wurzel[]{5})/2
[/mm]
und dann kann ich sagen [mm] g^{2}=g+1 [/mm] ist anders formuliert g-1=1/g und dann kann ich bei dem Induktionsanfang [mm] |x_{0}-g|=1/g^{n+1} [/mm] schreiben
[mm] |1-g|=1/g^{1}
[/mm]
und daraus folgt |g-1| = 1/g
Damit hätte ich den ersten Teil korrigiert und mit der weiteren Induktion auch entgültig bewiesen das es einen Grenzwert g gibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du verwendest doch gar nicht (zum Glück) das g ein GW ist.
dass g=1+1/g ist kannst du doch aus der Def von g als Lösung von [mm] x^2-x-1=0 [/mm] direkt ausrechen oder aus [mm] g=(1+\wurzel{5})/2!
[/mm]
bei deiner richtigen Induktion verwendest du doch nur das.
Du darfst ne GW. Überlegung NIE damit anfangen dass du annimmst er existiert (natürlich in deinem Inneren schon, um nen Beweisweg zu finden!) Du musst immer zuerst die Existenz zeigen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 20.11.2007 | | Autor: | Namisan |
Ja also ich drücke mich vielleicht ein bischen schlecht aus...
Also das [mm] g=(1+\wurzel[]{5})/2 [/mm] benutze ich wirklcih nicht als Grenzwert.
Vielmehr nehme ich x als Grenzwert an wenn mans mal genau nimmt...
weil die gleichung kann ich dann nach [mm] x^{2}=x+1 [/mm] umstellen und dann damit weiter machen... dadruch kann ich dann weiter machen.
Ich werde versuchen auf meine Formulierung zu achten.
wobei ich auch noch n fehlerchen bemerkt habe
den nehme ich raus und dann sollte es eigentlich stimmen!
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