Beweis einer Sinus-Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ^^
Ich versuche gerade folgende Ungleichung zu beweisen
sin(1/n)<1/n
Sie scheint auch soweit zustimmen...hab mit mal in Maple den Graphen angeschaut und des Ausdruck für n=1000 ausgewertet.
So ich hab schon mehrere Ansätze gehabt aber keiner hat so wirklich zum Ergebnis geführt...
Was habe ich schon versucht?
a) Umformen
b) Induktion --- ziemlich blöd, weil dann ja 1/n+1 im Sinus
steht
c) Auf beiden Seiten der Ungleichung d/dx anwenden...
aber das ist ja nicht erlaubt :(
(Warum eigentlich nicht? Welche Eigenschaften muss
ein mathematischer Operator erfüllen damit man
ihn auf beiden Seiten einer (Un)Gleichung anwenden
kann???)
d) Taylorpolynome --- auch etwas unpraktisch, da ständig
das Vorzeichen "hüpft"...
Kann mir jemand einen -->Tipp<--- geben??
Das wäre cool
Vielen Dank im Voraus!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Di 06.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Graph der sin -fkt liegt unter der Tangente im Nullpunkt.
reicht dir das?
oder lieber Taylor? Das ist aber dasselbe!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
welche tangente an welcher funktion meinst du konkret?
Wie löst du das mit Taylor???
|
|
|
| |
|
Halo dre1ecksungleichung!
leduart meint die Tangente an die Funktion $f(x) \ = \ [mm] \sin(x)$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Beim Nachweis mit der Taylor-Reihe musst Du [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] in die Taylor-Reihe für die [mm] $\sin$-Funktion [/mm] einsetzen und abschätzen:
[mm] $$\sin(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] \ = \ [mm] x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}\mp [/mm] ...$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs mit dem Mittelwertsatz ?
Beh.: sin(x) < x für x [mm] \in [/mm] (0,1]
Beweis: f(x) := x-sin(x) . Dann ist f'(x) = 1-cos(x) >0 für x [mm] \in [/mm] (0,1]
Es folgt für x [mm] \in [/mm] (0,1]: [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = f'(t), wobei t zwischen 0 und x.
Dann: f(x) = xf'(t) > 0 , also x> sin(x)
FRED
|
|
|
|
