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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:40 Di 04.07.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabenstellung vor der Brust und bin mir über die Herangehensweise nicht im Klaren.
Zunächst die Aufgabe:
Gegeben sind die folgenden Relationen:
[mm] $R_1\subseteq [/mm] B [mm] \times [/mm] A$
[mm] \\ \\
[/mm]
[mm] $R_2\subseteq [/mm] B [mm] \times [/mm] A$
[mm] \\\\
[/mm]
[mm] b_i \in B_{3} :\Leftarrow \bigvee \limits_{a \in A} \{(b_i,a)\in R_{1} \wedge (b_i,a)\notin R_{2}\} [/mm]
[mm] \\ \\
[/mm]
[mm] b_i \in B_{4} :\Leftarrow \bigwedge \limits_{a_k \in A} \{(b_i,a_k)\notin R_{1} \vee (b_i,a_k)\in R_{2}\}
[/mm]
[mm] \\ \\
[/mm]
Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Behauptung:
[mm] \\ \\
[/mm]
[mm] \Pi (R_{1})_{[B]} [/mm] = B [mm] :\Rightarrow B_{3} \cup B_{4} [/mm] = B [mm] \mbox{ sowie }$
[/mm]
[mm] \\ \\
[/mm]
[mm] B_{3} \cap B_{4} [/mm] = [mm] \oslash [/mm]
Für mich besteht die Aufgabenstellung aus zwei Teilen. Gelten die beiden Aussagen und wenn ja wie beweist man sowas.
Mein Versuch das ganze mit Hilfe von allen möglichen Kombinationen zu lösen, hat mir gezeigt, dass die Behauptung stimmt. Als Beweis kann man dieses Vorgehen jedoch nicht verwenden, oder?
Für Ratschläge, wie man sowas macht, bin ich sehr dankbar.
Viele Grüße
HOST
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Moin HOST,
begeben wir uns ans Werk:
> [mm]R_1\subseteq B \times A[/mm]
> [mm]\\ \\[/mm]
> [mm]R_2\subseteq B \times A[/mm]
>
> [mm]\\\\[/mm]
>
> [mm]b_i \in B_{3} :\Leftarrow \bigvee \limits_{a \in A} \{(b_i,a)\in R_{1} \wedge (b_i,a)\notin R_{2}\}[/mm]
>
> [mm]\\ \\[/mm]
>
> [mm]b_i \in B_{4} :\Leftarrow \bigwedge \limits_{a_k \in A} \{(b_i,a_k)\notin R_{1} \vee (b_i,a_k)\in R_{2}\}[/mm]
>
> [mm]\\ \\[/mm]
Also zeigen wir zunächst [mm] B_3\cap B_4=\emptyset.
[/mm]
Annahme: Es existiert ein [mm] b\in B_3\cap B_4. [/mm] Dann gilt nach Definition von [mm] B_3 [/mm] und [mm] B_4
[/mm]
[mm] \exists a\in A\:\: [\: (b,a)\in R_1\:\wedge\: (b,a)\in R_2\: [/mm] ] [mm] \:\:\:\:\wedge
[/mm]
[mm] \forall a\in A\:\: [\: (b,a)\not\in R_1\:\vee\: (b,a)\in R_2\: [/mm] ]
was logisch äquivalent ist zu
[mm] \exists a\in A\:\: [\: (b,a)\in R_1\:\wedge\: (b,a)\in R_2\: [/mm] ] [mm] \:\:\:\:\wedge
[/mm]
[mm] \neg \exists a\in A\: [\: \neg (\:(b,a)\not\in R_1\:\vee\: (b,a)\in R_2\: [/mm] ) [mm] \:]
[/mm]
also zu
[mm] \exists a\in A\:\: [\: (b,a)\in R_1\:\wedge\: (b,a)\in R_2\: [/mm] ] [mm] \:\:\:\:\wedge
[/mm]
[mm] \neg \exists a\in A\: [\: (b,a)\in R_1\:\wedge\: (b,a)\in R_2\: [/mm] ]
offenbar ein Widerspruch.
Also kann es solches b nicht geben.
Zeigen wir noch
[mm]\Pi (R_{1})_{[B]}[/mm] = B [mm]:\Rightarrow B_{3} \cup B_{4}[/mm] = B
[mm] \Pi (R_{1})_{[B]} [/mm] = B heisst ja, dass es zu jedem [mm] b\in [/mm] B ein [mm] a\in [/mm] A mit [mm] (b,a)\in R_1 [/mm] gibt.
Sind nun alle diese Paare (b,a) auch in [mm] R_2, [/mm] so ist [mm] b\in B_4, [/mm] sonst wähle ein [mm] a\in [/mm] A mit
[mm] (b,a)\in R_1 [/mm] und [mm] (b,a)\not\in R_2, [/mm] dies zeigt dann [mm] b\in B_3.
[/mm]
Gruss,
Mathias
> [mm]\mbox{ sowie }$[/mm]
> Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden
> Behauptung:
> [mm]\\ \\[/mm]
>
> [mm]\Pi (R_{1})_{[B]}[/mm] = B [mm]:\Rightarrow B_{3} \cup B_{4}[/mm] = B
> [mm]\mbox{ sowie }$[/mm]
> [mm]\\ \\[/mm]
>
> [mm]B_{3} \cap B_{4}[/mm] = [mm]\oslash[/mm]
>
> Für mich besteht die Aufgabenstellung aus zwei Teilen.
> Gelten die beiden Aussagen und wenn ja wie beweist man
> sowas.
>
> Mein Versuch das ganze mit Hilfe von allen möglichen
> Kombinationen zu lösen, hat mir gezeigt, dass die
> Behauptung stimmt. Als Beweis kann man dieses Vorgehen
> jedoch nicht verwenden, oder?
>
> Für Ratschläge, wie man sowas macht, bin ich sehr dankbar.
>
> Viele Grüße
>
> HOST
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Di 04.07.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Mathias,
vielen Dank für die Antwort.
Ich glaube damit komme ich jetzt zurecht.
Dir noch einen schönen Tag.
Viele Grüße
Stephan
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