Beweis einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | (1 - [mm] \bruch{1}{n^2})^n \le [/mm] 1 , für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Guten Tag,
ich habe versucht diese Ungleichung per Induktion zu beweisen. Zum einen bin ich mir nicht mal ganz sicher ob es nicht einen einfacheren Weg gibt (falls doch, gerne einen Tipp geben), aber erstmal zum Induktionsbeweis:
Den Induktionsanfang mit n = 1 tippe ich jetzt mal nicht ab.
Für den Induktionsschritt:
(1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2})^{n} \* [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2})
[/mm]
Jetzt habe ich diese n+1 unter dem Bruchstrich stehen und weiß auch sonst nicht recht wie ich weiter machen soll.
Bitte um ein wenig Hilfe!
Danke
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Moin QuickNick,
> (1 - [mm]\bruch{1}{n^2})^n \le[/mm] 1 , für alle n [mm]\in \IN[/mm]
Du kannst gleich die n.Wurzel nehmen, die Ungleichung bleibt aufgrund der Monotonie der n. Wurzel erhalten. Dann steht da
[mm] 1-1/n^2\leq1,
[/mm]
was offensichtlich erfüllt ist.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Di 22.11.2011 | | Autor: | QuickNick |
aiaiaiai... Ich glaube ich habe heute meinen Kopf irgendwo vergessen. Danke vielmals!
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| Aufgabe | | (1+ [mm] \bruch{1}{n^2})^n \le [/mm] 1+ [mm] \bruch{2}{n} [/mm] |
In ähnlicher Weise möchte ich jetzt auch gerne diese Aufgabe lösen.
Hier hänge ich wirklich auf dem Schlauch. Ich bräuchte nur einen kleinen Denkanstoß.
Danke
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> (1+ [mm]\bruch{1}{n^2})^n \le[/mm] 1+ [mm]\bruch{2}{n}[/mm]
Zeige
[mm] \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\leq\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{n^i}.
[/mm]
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 22.11.2011 | | Autor: | Nischke |
Wie kommt man den auf die Summe?
Ich hab hier eine ähnliche Augfabenstellung, jedoch weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll.
[mm] 1-\bruch{1}{n}\le(1-\bruch{1}{n^2})^{n}\le1\le(1+\bruch{1}{n^2})^{n}\le1+\bruch{2}{n}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 22.11.2011 | | Autor: | QuickNick |
Gehe ich richtig in der Annahme, dass man danach auch noch zeigen muss, dass die Summe kleiner ist als [mm] 1+\bruch{2}{n} [/mm] ?
Wobei ich gerade auch erst noch herausfinden muss wie man $ [mm] \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\leq\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{n^i} [/mm] $ zeigt.
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An euch beide:
> Wie kommt man den auf die Summe?
Nach binomischen Satz gilt
[mm] \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\binom{n}{0}1+\binom{n}{1}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^4}+\ldots
[/mm]
Dabei kann man die Binomialkoeffizienten abschätzen:
[mm] \binom{n}{k}\leq\frac{1}{n^k}.
[/mm]
So kommt man auf die Reihe.
> richtig in der Annahme, dass man danach auch noch zeigen muss, dass die Summe kleiner ist als $ [mm] 1+\bruch{2}{n} [/mm] $ ?
So ist es: Da es sich um eine geometrische Reihe handelt, ist dies nicht schwer.
LG
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