Beweis einer Ungleichung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 So 04.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | | http://img403.imageshack.us/img403/477/33cp.jpg |
Hallo,
Ich habe bei der Lösung dieser Aufgabe die Ungleichung in 2 Teile aufgeteilt.
1. Teil
http://img689.imageshack.us/img689/6039/04122011081.jpg
Beim 1. Teil bin ich denke ich fertig soweit mit dem Beweis. Wäre das soweit richtig? Auch die Begründung am Ende?
2. Teil
http://img192.imageshack.us/img192/9559/04122011080.jpg
Beim 2. Teil weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll. Die Binomische Formel noch auszuschreiben und die 4 rüberzuholen bringt auch nicht sonderlich viel. Habt ihr irgendeinen Tipp wie ich da weitermachen könnte?
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Hallo Jack,
schön, dass Du auch gern handschriftlich arbeitest. Ich auch.
Die Antwort habe ich hier vor mir liegen, aber leider keinen Scanner.
Komm einfach vorbei, dann zeig ich sie Dir.
Schick mir eine PN, dann schick ich Dir meine Adresse (in NRW).
Ach, und vorab schonmal: der 1. Teil ist richtig! Er hängt aber gar nicht davon ab, ob a,b positiv sind; dieser Teil der Begründung kann locker entfallen. Jedes Quadrat einer reellen Zahl ist größer oder gleich Null.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Hier hattest Du noch behauptet, Du wolltest die nächste Aufgabe abtippen. Das ist leider nicht passiert. Ich habe auch keine Lust, das zu übernehmen. So funktioniert dieses Forum auch nicht, schon einfach deswegen, weil man in einem Scan nicht nach Text suchen kann und, wenn man ihn zitiert, auch keine Anmerkungen dazu sinnvoll schreiben kann, ohne das Original mit abzuschreiben.
Such Dir einfach ein Schreibbüro, das Deine Fragen hier eintippt, dann kommen wir leichter ins Geschäft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 So 04.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo reverend,
Ich komme mit diesem Formel-Code-System einfach nicht zurecht...
Fängt schon beim darstellen eines Doppelbruchs an. Hab mehreres ausprobiert, aber in der Anleitung steht leider nur der Code für einen normalen Bruch. Könntest du mir da helfen? Dann versuch ich das ganze hier mal einzutippen.
Oder alternativ einfach auf irgendeine Zeile meiner Rechnung beziehen, statt zu zitieren. Ich verlange ja nicht, dass ihr jetzt extra meine Schrift hier reintippt. Es würde mir schon vollkommen ausreichen, wenn ihr es z.b. so macht:
"3. Zeile von unten ist ein Fehler. Dort muss du nicht das machen, sondern dies und das..."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 So 04.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jack!
Zum Beispiel ergibt:
\bruch{\bruch{a}{b}+\bruch{c}{d}}{\bruch{e}{f}-\bruch{g}{h}}
dann:
[mm]\bruch{\bruch{a}{b}+\bruch{c}{d}}{\bruch{e}{f}-\bruch{g}{h}}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Loddar,
Danke für den Code, jetzt hab ich es hinbekommen ;)
Teil 1 war ja bis auf die Begründung richtig. Meine verbesserte Begründung:
Wahr nach Vorrausetzung, da jede Reele Zahl zum quadrat größer oder gleich Null ist.
Und hier der 2. Teil mit Rechnung, wo ich leider nicht mehr weiter weiß...
Egal wie ich das noch weiter umforme, ich komme nicht auf ein schlüssiges Ergebnis wie z.b. in Teil 1
[mm] \bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}} \le \wurzel{a*b} [/mm] | [mm] ()^2
[/mm]
[mm] \gdw (\bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}})^2 \le [/mm] a*b
[mm] \gdw \bruch{4}{(\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b})^2} \le [/mm] a*b [mm] |*(\bruch{1}{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{b})^2 [/mm] da a,b>0
[mm] \gdw [/mm] 4 [mm] \le a*b*(\bruch{1}{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{b})^2
[/mm]
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Hallo Jack,
viel besser! Danke fürs Eintippen.
> Teil 1 war ja bis auf die Begründung richtig. Meine
> verbesserte Begründung:
> Wahr nach Vorrausetzung, da jede Reele Zahl zum quadrat
> größer oder gleich Null ist.
Korrekt.
> Und hier der 2. Teil mit Rechnung, wo ich leider nicht mehr
> weiter weiß...
> Egal wie ich das noch weiter umforme, ich komme nicht auf
> ein schlüssiges Ergebnis wie z.b. in Teil 1
>
> [mm]\bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}} \le \wurzel{a*b}[/mm] |
> [mm]()^2[/mm]
Da a,b>0 ist dieser Schritt hier erlaubt.
> [mm]\gdw (\bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}})^2 \le[/mm] a*b
>
> [mm]\gdw \bruch{4}{(\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b})^2} \le[/mm] a*b
> [mm]|*(\bruch{1}{a}[/mm] + [mm]\bruch{1}{b})^2[/mm] da a,b>0
>
> [mm]\gdw[/mm] 4 [mm]\le a*b*(\bruch{1}{a}[/mm] + [mm]\bruch{1}{b})^2[/mm]
Jetzt kommst Du um Bruchrechnung nicht herum:
[mm] \gdw 4\le a*b*\left(\bruch{a+b}{ab}\right)^2\quad\gdw\quad 4\le\bruch{a^2+2ab+b^2}{ab}
[/mm]
[mm] \gdw 4ab\le a2+2ab+b^2
[/mm]
Von hier kommst Du schnell zum im Prinzip gleichen Argument wie beim ersten Teil.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo reverend,
Danke für die schnelle Antwort ;)
Jetzt ist alles klar. Vielen dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] \bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}} [/mm] = [mm] \bruch{2ab}{a+b}
[/mm]
Damit gilt:
$ [mm] \bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}} \le \wurzel{a\cdot{}b} [/mm] $ [mm] \gdw $\wurzel{ab} \le [/mm] 1/2(a+b)$
Kommt Dir die letzte Ungl bekannt vor ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo fred97,
Hab jetzt auch bemerkt, dass man bei beiden Teilen durch Umformen auf letztendlich das selbe Ergebnis kommt:
0 [mm] \le (a-b)^2
[/mm]
Danke dir auch.
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