Beweis einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie: Für jede reelle Zahl -1 < q < 1 und jede natürliche Zahl [mm]n \in \IN[/mm] gilt
[mm]1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm] |
Das ist meine Beweis mithilfe der vollständigen Induktion:
IA:
sei n=0
[mm]1+q \leq \bruch{1}{\underbrace{1-q}_{> 0}}[/mm]
[mm](1+q) * (1-q) \leq 1[/mm]
[mm]1 - q^2 \leq 1[/mm]
[mm]-q^2 \leq 0[/mm]
[mm]q^2 \geq 0[/mm]
IV:
[mm]\forall q \in \IR > - 1, < 1, \forall n \in \IN : 1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
Hier war ich mir bei der Notation etwas unsicher: Ist das so richtig? Das "für alle q größer -1 und kleiner 1" kommt mir von der Notation her etwas merkwürdig vor.
IS:
[mm]n \to n+1[/mm]
[mm]\underbrace{1 + q + q^2 + \ldots + q^n}_{\leq \bruch{1}{1-q}} + q^{n+1} \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
[mm]q^n * q \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
[mm]\underbrace{q^n}_{\leq 1} * \underbrace{q}_{< 1} * \underbrace{(1-q)}_{> 0} \leq 1[/mm]
Damit kann die linke Seite der Ungleichung niemals größer werden als 1.
Ist das als Beweis ausreichend?
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Hallo Apfelchips,
auch hier machst Du Dir zuviel Arbeit.
> Zeigen oder widerlegen Sie: Für jede reelle Zahl -1 < q <
> 1 und jede natürliche Zahl [mm]n \in \IN[/mm] gilt
>
> [mm]1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
>
>
> Das ist meine Beweis mithilfe der vollständigen
> Induktion:
>
>
> IA:
> sei n=0
>
> [mm]1+q \leq \bruch{1}{\underbrace{1-q}_{> 0}}[/mm]
>
> [mm](1+q) * (1-q) \leq 1[/mm]
>
> [mm]1 - q^2 \leq 1[/mm]
>
> [mm]-q^2 \leq 0[/mm]
>
> [mm]q^2 \geq 0[/mm]
>
>
> IV:
> [mm]\forall q \in \IR > - 1, < 1, \forall n \in \IN : 1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
> Hier war ich mir bei der Notation etwas unsicher: Ist das
> so richtig? Das "für alle q größer -1 und kleiner 1"
> kommt mir von der Notation her etwas merkwürdig vor.
Das ist es auch.
[mm] \forall q\in\IR, -1
> IS:
> [mm]n \to n+1[/mm]
>
> [mm]\underbrace{1 + q + q^2 + \ldots + q^n}_{\leq \bruch{1}{1-q}} + q^{n+1} \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> [mm]q^n * q \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
Jetzt hast Du die ersten n+1 Glieder (also bis [mm] $q^n$) [/mm] einfach wegfallen lassen. Das geht auch nicht.
> [mm]\underbrace{q^n}_{\leq 1} * \underbrace{q}_{< 1} * \underbrace{(1-q)}_{> 0} \leq 1[/mm]
> Damit kann die linke Seite der Ungleichung niemals größer
> werden als 1.
Wieso das nicht? Für q=-0,9 und n=5 ist das z.B. nicht erfüllt.
> Ist das als Beweis ausreichend?
Keinesfalls.
Die Aufgabe war doch:
> Zeigen oder widerlegen Sie: Für jede reelle Zahl -1 < q <
> 1 und jede natürliche Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
>
> $1 + q + [mm] q^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] q^n \leq \bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Warum sparst Du Dir nicht erstmal die ganze Induktion und multiplizierst die Gleichung einfach einmal mit (1-q)?
Dann siehst Du sofort, dass die zu zeigende Behauptung keineswegs immer stimmen kann. Finde ein Gegenbeispiel.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> > [mm]\forall q \in \IR > - 1, < 1, \forall n \in \IN : 1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> [mm]\forall 1\in\IR, -1
danke fürs Korrigieren!
>
> > IS:
> > [mm]n \to n+1[/mm]
> >
> > [mm]\underbrace{1 + q + q^2 + \ldots + q^n}_{\leq \bruch{1}{1-q}} + q^{n+1} \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> >
> > [mm]q^n * q \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> Jetzt hast Du die ersten n+1 Glieder (also bis [mm]q^n[/mm]) einfach
> wegfallen lassen. Das geht auch nicht.
Ich hatte angenommen, dass die ersten n+1 Glieder durch die Induktionsvoraussetzung ohnehin wahr sind.
Im Nachhinein betrachtet hab ich somit aber die Ausgangslage verändert und kann damit gar nicht das beweisen, was zu beweisen ist. Stimmt …
>
> > [mm]\underbrace{q^n}_{\leq 1} * \underbrace{q}_{< 1} * \underbrace{(1-q)}_{> 0} \leq 1[/mm]
>
> > Damit kann die linke Seite der Ungleichung niemals größer
> > werden als 1.
>
> Wieso das nicht? Für q=-0,9 und n=5 ist das z.B. nicht
> erfüllt.
Stimmt.
>
> Warum sparst Du Dir nicht erstmal die ganze Induktion und
> multiplizierst die Gleichung einfach einmal mit (1-q)?
> Dann siehst Du sofort, dass die zu zeigende Behauptung
> keineswegs immer stimmen kann. Finde ein Gegenbeispiel.
Okay:
[mm]1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q} \qquad | * (1-q)[/mm]
[mm](1 + q + q^2 + \ldots + q^n) * (1-q) \leq 1[/mm]
[mm]1 + q + q^2 + \ldots + q^n - q - q^2 - q^3 - \ldots -q^n - q^{n+1} \leq 1[/mm]
[mm]1 - q^{n+1} \leq 1[/mm]
Zum Beispiel für n=0 und q=-0,1 ist die Behauptung dann nicht wahr.
Aber wie formalisiere ich das jetzt?
Edit:
Ich glaube ich kann meine Frage selbst beantworten: Mit diesem einem Gegenspiel ist ja schon bewiesen, dass die Aussage nicht (immer) wahr ist. Damit bin ich doch schon quasi am Ende des Beweises angelangt, oder?
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Hallo nochmal,
> > > [mm]\forall q \in \IR > - 1, < 1, \forall n \in \IN : 1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> >
> > [mm]\forall 1\in\IR, -1
>
> danke fürs Korrigieren!
Siehe Marcels Korrektur - es muss natürlich mit [mm] \forall q\in\IR [/mm] heißen.
> > Warum sparst Du Dir nicht erstmal die ganze Induktion und
> > multiplizierst die Gleichung einfach einmal mit (1-q)?
> > Dann siehst Du sofort, dass die zu zeigende Behauptung
> > keineswegs immer stimmen kann. Finde ein Gegenbeispiel.
>
> Okay:
>
> [mm]1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q} \qquad | * (1-q)[/mm]
>
> [mm](1 + q + q^2 + \ldots + q^n) * (1-q) \leq 1[/mm]
>
> [mm]1 + q + q^2 + \ldots + q^n - q - q^2 - q^3 - \ldots -q^n - q^{n+1} \leq 1[/mm]
>
> [mm]1 - q^{n+1} \leq 1[/mm]
>
> Zum Beispiel für n=0 und q=-0,1 ist die Behauptung dann
> nicht wahr.
> Aber wie formalisiere ich das jetzt?
>
> Edit:
> Ich glaube ich kann meine Frage selbst beantworten: Mit
> diesem einem Gegenspiel ist ja schon bewiesen, dass die
> Aussage nicht (immer) wahr ist. Damit bin ich doch schon
> quasi am Ende des Beweises angelangt, oder?
Genau. Da ist gerade nichts zu beweisen. An der neuen Gestalt der Ungleichung kann man aber gut ablesen, wann die ursprüngliche Aussage eben doch stimmt, nämlich für [mm] $0\le q\le [/mm] 1$ und beliebiges n, sowie für [mm] $-1\le [/mm] q<0$ für ungerades n, also n=2k-1, [mm] k\in\IN.
[/mm]
Deswegen würde ich als Gegenbeispiel auch lieber eins mit [mm] n\not=0 [/mm] nehmen, also z.B. q=-0,5 und n=2. Oder irgendein anderes...
Wenn es ein Gegenbeispiel zu einer Behauptung gibt, dann ist die Behauptung falsch und kann nicht mehr bewiesen werden. Dann ist man mit so einer Aufgabe in der Tat fertig.
Hier müsste man ziemlich viele Betragsstriche spendieren, um die Aussage zu retten, oder eben den Bereich für q anders wählen oder die Aussage aufspalten (wie drei Absätze über diesem).
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 So 14.10.2012 | | Autor: | Apfelchips |
> > Ich glaube ich kann meine Frage selbst beantworten: Mit
> > diesem einem Gegenspiel ist ja schon bewiesen, dass die
> > Aussage nicht (immer) wahr ist. Damit bin ich doch schon
> > quasi am Ende des Beweises angelangt, oder?
>
> Genau. Da ist gerade nichts zu beweisen. An der neuen
> Gestalt der Ungleichung kann man aber gut ablesen, wann die
> ursprüngliche Aussage eben doch stimmt, nämlich für [mm]0\le q\le 1[/mm]
> und beliebiges n, sowie für [mm]-1\le q<0[/mm] für ungerades n,
> also n=2k-1, [mm]k\in\IN.[/mm]
>
> Deswegen würde ich als Gegenbeispiel auch lieber eins mit
> [mm]n\not=0[/mm] nehmen, also z.B. q=-0,5 und n=2. Oder irgendein
> anderes...
>
> Wenn es ein Gegenbeispiel zu einer Behauptung gibt, dann
> ist die Behauptung falsch und kann nicht mehr bewiesen
> werden. Dann ist man mit so einer Aufgabe in der Tat
> fertig.
>
> Hier müsste man ziemlich viele Betragsstriche spendieren,
> um die Aussage zu retten, oder eben den Bereich für q
> anders wählen oder die Aussage aufspalten (wie drei
> Absätze über diesem).
Super. Ich danke Dir für die Hilfe und für die Ausführungen!
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:14 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]\forall q \in \IR > - 1, < 1, \forall n \in \IN : 1 + q + q^2 + \ldots + q^n \leq \bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> [mm]\forall 1\in\IR, -1
>
> > Hier war ich mir bei der Notation etwas unsicher: Ist das
> > so richtig? Das "für alle q größer -1 und kleiner 1"
> > kommt mir von der Notation her etwas merkwürdig vor.
>
> Das ist es auch.
> [mm]\forall 1\in\IR, -1
wieiviele [mm] $1\,$en [/mm] gibt's denn in [mm] $\IR$?
[/mm]
Du meintest
[mm] $$\forall [/mm] q [mm] \in \IR:\;\;-1 [/mm] < q < 1$$
Ich hätte aber sowas geschrieben:
[mm] $$\text{für (alle) } [/mm] -1 < q < 1$$
oder
[mm] $$\text{für jedes reelle }|q| [/mm] < 1$$
oder besser (denn obiges versteht man, ist aber formal eigentlich auch
nicht so das Wahre)
[mm] $$\forall [/mm] q [mm] \in (-1,1)\,.$$
[/mm]
@Apfelchips: Wenn man sich unsicher ist, schreibt man halt Text:
Für jedes reelle [mm] $q\,$ [/mm] mit $|q| < 1$ gilt...
Wenn man übrigens immer weiß, dass das [mm] $q\,$ [/mm] nur reell sein kann (etwa,
weil komplexe Zahlen in der Vorlesung noch gar nicht eingeführt worden
sind), braucht man auch nicht immer von reellem [mm] $q\,,$ [/mm] $q [mm] \in \IR$ [/mm] oder
sowas zu sprechen - das ist dann klar!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:35 So 14.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
was nicht aus einem Tippfehler alles werden kann...
> > [mm]\forall 1\in\IR, -1
>
> wieiviele [mm]1\,[/mm]en gibt's denn in [mm]\IR[/mm]?
Das kommt drauf an, welche Farben von [mm] \IR [/mm] da schon eingeführt sind. An der Schule hat man ja meist nur die blaue, rote, grüne und gelbe 1. Ach ja, und die gedruckte schwarze und die weiße Tafeleins. Aber das ist es dann ja auch schon. Und manche haben gar keine Eins an der Schule, aber das ist ein anderes Thema.
> Du meintest
> [mm]\forall q \in \IR:\;\;-1 < q < 1[/mm]
Jawohl, nur würde ich den Doppelpunkt erst am Ende dieser Aussage setzen. Aber das sind wahrscheinlich mehr Notationsgewohnheiten als echte Unterschiede.
> Wenn man übrigens immer weiß, dass das [mm]q\,[/mm] nur reell sein
> kann (etwa,
> weil komplexe Zahlen in der Vorlesung noch gar nicht
> eingeführt worden
> sind), braucht man auch nicht immer von reellem [mm]q\,,[/mm] [mm]q \in \IR[/mm]
> oder
> sowas zu sprechen - das ist dann klar!
Da wäre ich vorsichtiger. Immerhin dürften [mm] \IN, \IZ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] ja auch schon eingeführt sein.
Grüße - und danke für die Korrektur,
reverend
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 19:07 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> was nicht aus einem Tippfehler alles werden kann...
>
> > > [mm]\forall 1\in\IR, -1
> >
> > wieiviele [mm]1\,[/mm]en gibt's denn in [mm]\IR[/mm]?
>
> Das kommt drauf an, welche Farben von [mm]\IR[/mm] da schon
> eingeführt sind. An der Schule hat man ja meist nur die
> blaue, rote, grüne und gelbe 1. Ach ja, und die gedruckte
> schwarze und die weiße Tafeleins. Aber das ist es dann ja
> auch schon. Und manche haben gar keine Eins an der Schule,
sie haben schon, nur sie halten sie versteckt und rücken sie nie raus. 
> aber das ist ein anderes Thema.
>
> > Du meintest
> > [mm]\forall q \in \IR:\;\;-1 < q < 1[/mm]
>
> Jawohl, nur würde ich den Doppelpunkt erst am Ende dieser
> Aussage setzen. Aber das sind wahrscheinlich mehr
> Notationsgewohnheiten als echte Unterschiede.
Ja, Du hättest eher ein Komma gesetzt: Ich lese obiges so:
Für alle $q [mm] \in \IR\,,$ [/mm] für die gilt, dass ...
Ich kenne auch solche Notationen
[mm] $$\forall_{q \in \IR} [/mm] -1 < q < [mm] 1\,...$$
[/mm]
> > Wenn man übrigens immer weiß, dass das [mm]q\,[/mm] nur reell sein
> > kann (etwa,
> > weil komplexe Zahlen in der Vorlesung noch gar nicht
> > eingeführt worden
> > sind), braucht man auch nicht immer von reellem [mm]q\,,[/mm] [mm]q \in \IR[/mm]
> > oder
> > sowas zu sprechen - das ist dann klar!
>
> Da wäre ich vorsichtiger. Immerhin dürften [mm]\IN, \IZ[/mm] und
> [mm]\IQ[/mm] ja auch schon eingeführt sein.
Ja, man nimmt aber dann normalerweise "die größtmögliche eingeführte
Menge, für die die Aussage Sinn macht."
So ist z.B. [mm] $\forall [/mm] -1 < q < [mm] 1\,,$ [/mm] sofern denn etwa [mm] $\IR$ [/mm] bekannt, sinnvoll,
wenn $q [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Ist [mm] $\IC$ [/mm] bekannt, so würde man [mm] $\forall [/mm] |q| < [mm] 1\,$
[/mm]
normalerweise auf $q [mm] \in \IC$ [/mm] beziehen - soll dann die Aussage nur für
reelle [mm] $q\,$ [/mm] gelten, dann würde man das wiederum explizit dazuschreiben.
Aber auch das ist eher Gewohnheitssache, bzw. Konventionssache bzw.
einfach eine Absprache! Aber "üblich" ist es für viele schon!
Gruß,
Marcel
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