Beweis einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung:
n! < [mm] (\bruch{n}{2})^{n}
[/mm]
für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 6 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Ich sitze momentan an einer Ungleichung, deren Beweis mir nicht gelingen will.
Ich habe mich entschlossen es mit der Induktion zu versuchen und die Induktionsvoraussetzung auch schon bewiesen (Ich hoffe, dass es ok ist wenn ich die nicht extra noch aufschreibe)
Beim Induktionsschritt komme ich allerdings nicht mehr weiter.
(n+1)! < [mm] (\bruch{n+1}{2})^{n+1}
[/mm]
Meine Idee ist jetzt, von rechts nach links auf die (n+1)! zu kommen, indem ich auf der rechten Seite ein [mm] (\bruch{n}{2})^{n} [/mm] herausziehe und dafür n! wegen der IV einsetze.
Das Problem dabei ist, dass ich die n+1 im Zähler nicht loswerde. Es könnte natürlich sein, dass ich es falsch angehe oder komplett auf dem Holzweg bin. Über etwas Unterstützung würde ich mich sehr freuen.
Grüße
Poempel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 So 03.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Fange sinnvollerweise "hinten an", Potenzen sind einfacher zu bearbeiten also:
[mm] \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] >\left(\frac{n}{2}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n}{2}\right)^{n}\cdot\frac{n}{2}
[/mm]
[mm] \stackrel{I.V}{>}n!\cdot\frac{n}{2}
[/mm]
....
Marius
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Hallo M.Rex,
Danke für das herzliche Willkommen!
Das macht natürlich Sinn, wie du es geschrieben hast. Allerdings komme ich dann auf:
n! * (n+1) < n! * [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
wegen (n+1)! = n! * (n+1)
Allerdings würde ich doch sagen, dass n! mit (n+1) multipliziert größer ist, als mit [mm] \bruch{n}{2} [/mm] oder übersehe ich da etwas wichtiges?
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> Hallo M.Rex,
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> Danke für das herzliche Willkommen!
> Das macht natürlich Sinn, wie du es geschrieben hast.
> Allerdings komme ich dann auf:
>
> n! * (n+1) < n! * [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
>
> wegen (n+1)! = n! * (n+1)
>
> Allerdings würde ich doch sagen, dass n! mit (n+1)
> multipliziert größer ist, als mit [mm]\bruch{n}{2}[/mm] oder
> übersehe ich da etwas wichtiges?
Hallo,
.
Nein, Du übersiehst nichts.
Die vorgeschlagene Abschätzung war offenbar zu grob.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mo 04.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Kann es Sein, dass die Ungleichung genau andersherum lauten soll.
für n=8 bekommst du beispielsweise:
$8!=40320$ und [mm] \left(\frac{8}{2}\right)^{8}=4^{8}=65536
[/mm]
Dann würde auch meine Abschätzungsrichtung aus der ersten Antwort Sinn machen.
Ein neuer Versuch, das ganze von beiden Seiten her aufzuarbeiten.
$(n+1)!$
[mm] $=n!\cdot(n+1)$
[/mm]
[mm] $\red{>}\left(\frac{n}{2}\right)^{n}\cdot(n+1)$
[/mm]
Am Ende müsstest du auf folgendes abschätzen
[mm] =\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}\cdot\frac{n+1}{2}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}
[/mm]
Die n+1 steht ja auch schon da, aber [mm] \frac{n+1}{2}
Meiner Meinung nach ist zu zeigen, dass
[mm] n!\red{>}\left(\frac{n}{2}\right)^{n}
[/mm]
EDIT: Danke Angela
Marius
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> Hallo
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> Kann es Sein, dass die Ungleichung genau andersherum lauten
> soll.
>
> für n=8 bekommst du beispielsweise:
> [mm]8!=40320[/mm] und [mm]\left(\frac{8}{2}\right)^{8}=4^{8}=65536[/mm]
Hallo Marius,
das ist aber ein ziemlich deutlicher Hinweis darauf, daß sie keinesfalls andersrum lautet.
> Meiner Meinung nach ist zu zeigen, dass
>
> [mm]n!\red{>}\left(\frac{n}{2}\right)^{n}[/mm]
Eher nicht...
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mo 04.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angela.
> > Hallo
> >
> > Kann es Sein, dass die Ungleichung genau andersherum
> lauten
> > soll.
> >
> > für n=8 bekommst du beispielsweise:
> > [mm]8!=40320[/mm] und [mm]\left(\frac{8}{2}\right)^{8}=4^{8}=65536[/mm]
>
> Hallo Marius,
>
> das ist aber ein ziemlich deutlicher Hinweis darauf, daß
> sie keinesfalls andersrum lautet.
>
> > Meiner Meinung nach ist zu zeigen, dass
> >
> > [mm]n!\red{>}\left(\frac{n}{2}\right)^{n}[/mm]
>
> Eher nicht...
Hmm, ich sollte die Finger von dieser Aufgabe lassen, irgendwie verbastele ich das immer mehr.
>
> LG Angela
Marius
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Hallo,
ich glaube, ich hab's.
> (n+1)! < [mm](\bruch{n+1}{2})^{n+1}[/mm]
Der Witz scheint mir zu sein, daß man nicht gleich mit der Indutionsvoraussetzung ankommt, sondern erstmal den binomischen Satz nimmt:
[mm](\bruch{n+1}{2})^{n+1}[/mm]=[mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm][mm] *(n+1)^{n+1}
[/mm]
=[mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm][mm] *\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\k}n^{n+1-k}
[/mm]
=[mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm][mm] *(n^{n+1}+(n+1)*n^n+ \bruch{(n+1)*n}{2}*n^{n-1}+positives \quad [/mm] blabla)
=[mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm][mm] *(n^{n+1}+(n+1)*n^n+ \bruch{(n+1)}{2}*n^{n}+positives \quad [/mm] blabla)
[mm] >(\bruch{1}{2})^{n+1}*(n^{n+1}+(n+1)*n^n+\bruch{(n+1)}{2}*n^{n})
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})^{n+1}*(n*n^n+(n+1)*n^n+\bruch{(n+1)}{2}*n^{n})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(n*(\bruch{n}{2})^n+(n+1)*(\bruch{n}{2})^n+\bruch{(n+1)}{2}*(\bruch{n}{2})^n)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(2n+1+\bruch{(n+1)}{2})*(\bruch{n}{2})^n)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*(5n+3)*(\bruch{n}{2})^n)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*(4n+n+3)*(\bruch{n}{2})^n)
[/mm]
[mm] >\bruch{1}{4}*(4n+4)*(\bruch{n}{2})^n)
[/mm]
[mm] =(n+1)(\bruch{n}{2})^n)
[/mm]
>(n+1)*n!=(n+1)!
Bestimmt läßt es sich ein einigen Stellen etwas raffen, ich lasse es jetzt mal so stehen, wie ich's eingetippt habe - sonst verschlimmbessere ich es bloß.
LG Angela
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Hallo Angela,
Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe nochmal mit meinem Tutor geredet und er meinte, dass man auf jeden Fall mithilfe des binomischen Satzes arbeiten sollte, da alles andere sehr umständlich ist. Jetzt habe ich es ja sogar noch schriftlich zum überprüfen, danke!
Was jetzt noch ein kleiner Bonus für mich wäre... Das mit dem binomischen Satz. Ich suche schon die ganze Zeit nach einer Art "Anleitung" mit der ich die ersten paar Elemente der Summe bekomme, so wie du es gemacht hast. Auf Wikipedia und co ist das irgendwie schlecht erklärt. Gibt es vielleicht irgendwo etwas besser Erklärtes, mit dem ich das lernen kann?
Grüße
Poempel
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> Was jetzt noch ein kleiner Bonus für mich wäre... Das mit
> dem binomischen Satz. Ich suche schon die ganze Zeit nach
> einer Art "Anleitung" mit der ich die ersten paar Elemente
> der Summe bekomme, so wie du es gemacht hast.
Hallo,
den binomischen Satz muß man zunächst einmal gelernt haben und aufsagen können.
Dann ist schonmal klar, daß
[mm] (n+1)^{n+1}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\k}n^{n+1-k}*1^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\k}n^{n+1-k}.
[/mm]
[mm] =\vektor{n+1\\0}n^{n+1-0}+\vektor{n+1\\1}n^{n+1-1}+\vektor{n+1\\2}n^{n+1-2}+\vektor{n+1\\3}n^{n+1-3}+...+\vektor{n+1\\n}n^{n+1-n}+\vektor{n+1\\n+1}n^{n+1-(n+1)}
[/mm]
[mm] =\vektor{n+1\\0}n^{n+1}+\vektor{n+1\\1}n^{n}+\vektor{n+1\\2}n^{n-1}+\vektor{n+1\\3}n^{n-2}+...+\vektor{n+1\\n}n^{1}+\vektor{n+1\\n+1}n^{0}
[/mm]
Nun muß man noch wissen, wie der Binomialkoeffizient definiert ist:
[mm] \vektor{m\\k}=\bruch{m!}{k!*(m-k)!}
[/mm]
Es ist
[mm] \vektor{n+1\\0}=\bruch{(n+1)!}{0!*(n+1)!}=1,
[/mm]
[mm] \vektor{n+1\\1}=\bruch{(n+1)!}{1!*n!}=\bruch{1*2*3*...*n*(n+1)}{1*1*2*3*...*(n-1)*n}=\bruch{n+1}{1}=(n+1)
[/mm]
[mm] \vektor{n+1\\2}=\bruch{(n+1)!}{2!*(n-1)!}=\bruch{1*2*3*...(n-2)(n-1)*n*(n+1)}{1*2*1*2*3*...*(n-2)(n-1)}=...
[/mm]
[mm] \vektor{n+1\\3}=\bruch{(n+1)!}{...*...}=...,
[/mm]
usw.
LG Angela
> Auf Wikipedia
> und co ist das irgendwie schlecht erklärt. Gibt es
> vielleicht irgendwo etwas besser Erklärtes, mit dem ich
> das lernen kann?
>
> Grüße
> Poempel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
mein Vorschlag zum Schritt n [mm] \to [/mm] n+1:
nach Ind. Vor. ist
(n+1)!=n!(n+1) [mm] <(\bruch{n}{2})^n(n+1)
[/mm]
Wenn man nun zeigen kann, dass
(*) [mm] (\bruch{n}{2})^n(n+1) \le (\bruch{n+1}{2})^{n+1}
[/mm]
richtig ist, ist man fertig.
Einfache Äquivalenzumformungen zeigen:
(*) [mm] \gdw 2n^n \le (n+1)^n \gdw (1+\bruch{1}{n})^n \ge [/mm] 2
Die letzte Ungleichung ist richtig ( Bernoullische Ungl. !)
FRED
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Hallo Fred,
Danke für die Antwort.
Ich verstehe allerdings nicht ganz wieso du auf einmal von < nach [mm] \le [/mm] kommst. Ist das denn überhaupt erlaubt? Um die Ungleichung zu beweisen darf ich doch nicht einfach das Zeichen ändern oder? Was hat es mit diesem Stern in Klammern auf sich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Danke für die Antwort.
>
> Ich verstehe allerdings nicht ganz wieso du auf einmal von
> < nach [mm]\le[/mm] kommst. Ist das denn überhaupt erlaubt? Um die
> Ungleichung zu beweisen darf ich doch nicht einfach das
> Zeichen ändern oder?
Aus a<b [mm] \le [/mm] c folgt a<c.
> Was hat es mit diesem Stern in
> Klammern auf sich?
(*) dient zur Kennzeichnung einer Formel , Ungl, ....
FRED
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