www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesBeweis einer Äquivalenz
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Beweis einer Äquivalenz
Beweis einer Äquivalenz < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis einer Äquivalenz: Mengenlehre
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Do 11.10.2012
Autor: Sauri

Aufgabe
M = N [mm] \gdw [/mm] M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N

Hallo Leute ich soll die o. g. Aussage beweisen. Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Ich dachte eigentlich in der Vorlesung ganz gut mitgekommen zu sein - jedoch bekomme ich das nicht hin.

Ich weiß leider nicht genau wie ich vorgehen soll. Eine Äuqivalenz beweist man in dem man ein mal diesen [mm] (\Rightarrow) [/mm] und ein mal diesen [mm] (\Leftarrow) [/mm] Weg beschreibt.

Ich weiß aber nicht genau wie ich beispielsweise M = N so umformen soll, dass die rechte Seite herauskommt.

M = N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N [mm] \wedge [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M ist.

Ich bin eigentlich jemand, der gut aus Aufgaben lernen kann. Aber ich finde bei leider keine Verlgleichbaren Aufgaben. Könnt ihr mir hier vielleicht helfen? So dass ich mal einen Lösungsansatz habe?


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1676345#post1676345

        
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Do 11.10.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Sauri und erstmal herzlich [willkommenmr],

> M = N [mm]\gdw[/mm] M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] N
> Hallo Leute ich soll die o. g. Aussage beweisen. Leider
> habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Ich
> dachte eigentlich in der Vorlesung ganz gut mitgekommen zu
> sein - jedoch bekomme ich das nicht hin.
>
> Ich weiß leider nicht genau wie ich vorgehen soll. Eine
> Äuqivalenz beweist man in dem man ein mal diesen
> [mm](\Rightarrow)[/mm] und ein mal diesen [mm](\Leftarrow)[/mm] Weg
> beschreibt.

[ok] ganz genauso ist es!

>
> Ich weiß aber nicht genau wie ich beispielsweise M = N so
> umformen soll, dass die rechte Seite herauskommt.
>
> M = N [mm]\gdw[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M ist.
>
> Ich bin eigentlich jemand, der gut aus Aufgaben lernen
> kann. Aber ich finde bei leider keine Verlgleichbaren
> Aufgaben. Könnt ihr mir hier vielleicht helfen? So dass
> ich mal einen Lösungsansatz habe?

Ok, für die Richtung [mm][\Rightarrow][/mm] hast du als Voraussetzung [mm]\red{M=N}[/mm]

Nun ist zu zeigen, dass gefälligst unter dieser Voraussetzung gilt [mm]M\cup N \ = \ M\cap N[/mm]

Und wie zeigt man üblicherweise eine Mengengleichheit [mm]A=B[/mm]?

Indem man die beiden Teilmengenbeziehungen [mm]A\subset B[/mm] und [mm]B\subset A[/mm] zeigt.

Hier zeige also, dass gilt:

1) [mm]M\cup N \ \subset \ M\cap N[/mm] und

2) [mm]M\cap N \ \subset \ M\cup N[/mm]

Das wäre ein ganz formaler Weg, den du mal probieren kannst.


Es geht aber hier wesentlich schneller.

Wir haben ja als Voraussetzung [mm]\red{M=N}[/mm]

Was ist dann [mm]M\cup N[/mm]?

Dasselbe wie [mm]M\cup M[/mm] , und das ist [mm]=M[/mm] (und auch [mm]=N[/mm])

Und was ist [mm]M\cap N[/mm]?

Dasselbe wie [mm]M\cap M[/mm] , und das ist [mm]=M[/mm] (und auch [mm]=N[/mm])

Damit ist die Richtung [mm][\Rightarrow][/mm] schon erledigt.

Nun die andere Richtung [mm][\Leftarrow][/mm]

Hier gilt als Voraussetzung [mm]M\cup N \ = \ M\cap N[/mm]

Zu zeigen ist [mm]M=N[/mm]

Dazu zeige die beiden Teilmengenbeziehungen [mm]M\subset N[/mm] und [mm]N\subset M[/mm] - wie oben angedeutet.

Das war jetzt viel klein-klein, aber ich hoffe, es hilft dir!


>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1676345#post1676345

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Do 11.10.2012
Autor: Sauri

Hallo, vielen vielen Dank!!!

Ich werde das sofort ausprobieren! Nochmals tausend Dank!

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Do 11.10.2012
Autor: Sauri

Also ich bin jetzt beim zweiten Teil. Und muss zeigen, dass M = N ist unter der Vorraussetzung M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N :

M = N [mm] \gdw [/mm] M [mm] \subset [/mm] N [mm] \wedge [/mm] N [mm] \subset [/mm] M [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N

Aber wie setze ich in diesem Fall meine Vorraussetzung ein?
Umgeschrieben heißt der erste Teil der Vorraussetzung z. B.:
M [mm] \cup [/mm] N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N

aber in inwiefern hilft mir das weiter?

Vielen Dank noch einmal!

Bezug
                        
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 11.10.2012
Autor: Teufel

Hi!

Mach es mal so, wie schauzipus es gesagt hat. Zeige $M [mm] \subseteq [/mm] N$ und $N [mm] \subseteq [/mm] M$.

Nehmen wir mal $M [mm] \subseteq [/mm] N$. Du musst dafür zeigen: Falls $x [mm] \in [/mm] M$, so folgt $x [mm] \in [/mm] N$. Sei also $x [mm] \in [/mm] M$. Dann ist doch erst recht $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$. Kommst du damit weiter?

Bezug
                                
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Do 11.10.2012
Autor: Sauri

also wenn x [mm] \varepsilon [/mm] M ist. Dann folgt daraus ja wegen  M [mm] \subset [/mm] N das x auch in N ist oder? Grund dafür: x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N.

Und wenn x in M [mm] \cup [/mm] N ist dann ist es wegen der Vorraussetung auch in M [mm] \cap [/mm] N ???? Vorraussetzung war das M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N .

Oder ist das zu einfach?^^

Danke für deine Antwort!!!

Bezug
                                        
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Do 11.10.2012
Autor: Teufel

Nein nicht ganz, die Voraussetzung ist ja jetzt $M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N$. Daraus musst du M=N folgern, du darfst dabei also nicht schon M [mm] \subseteq [/mm] N benutzen. Dass M [mm] \subseteq [/mm] N willst du ja jetzt erst zeigen!

Dazu habe ich ein $x [mm] \in [/mm] M$ genommen und will zeigen, dass das x auch in N liegt. Sei also $x [mm] \in [/mm] M$. Wie ich schon geschrieben habe, ist dann auch erst recht $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$. Dann hast du richtig erkannt, dass daraus auch $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ folgt, weil du ja $M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N$ benutzen darfst!

Aber was heißt denn nun die Aussage, dass $x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ ist? Wenn du dir mal anschaust, was du für dieses x eigentlich zeigen wolltest.

Bezug
                                                
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Do 11.10.2012
Autor: Sauri

Also wenn x [mm] \varepsilon [/mm] M ist. Und die o. g. Vorraussetzung gilt. Dann ist x in jedem Fall in M [mm] \cup [/mm] N und auch in M [mm] \cap [/mm] N.

M [mm] \cap [/mm] N [mm] \gdw [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N .

Deswegen ist x auch in N und es gilt N [mm] \subset [/mm] M .

Ists' das so richtig begründet?

Vielen an dieser Stelle noch mal!

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Do 11.10.2012
Autor: reverend

Hallo Sauri,

noch nicht ganz.

> Also wenn x [mm]\varepsilon[/mm] M ist. Und die o. g. Vorraussetzung
> gilt. Dann ist x in jedem Fall in M [mm]\cup[/mm] N und auch in M [mm]\cap[/mm]N.

[ok]

Mach mal weniger Freiräume in Deine Formeln, dann werden sie "schöner". Außerdem hat es unser Parser leichter, sie zu interpretieren.

> M [mm]\cap[/mm] N [mm]\gdw[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N .

Es ist klar, was du meinst (und auch richtig), aber die Notation geht so nicht.

> Deswegen ist x auch in N und es gilt N [mm]\subset[/mm] M .

Der letzte Schritt ist falsch.

[mm] x\in M\Rightarrow x\in N\Rightarrow \blue{M\subset N} [/mm]

Nimm mal [mm] M=\IN [/mm] und [mm] N=\IZ. [/mm]
Dann ist [mm] M\cap{N}=\IN [/mm] und es gilt [mm] x\in M\Rightarrow x\in{N} [/mm]
Aber es ist keineswegs [mm] N\subset{M}, [/mm] sondern umgekehrt.

> Ists' das so richtig begründet?
>  
> Vielen an dieser Stelle noch mal!

Herzlichen ;-)
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
Beweis einer Äquivalenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Do 11.10.2012
Autor: Sauri

Jo, das mit der Notation macht Sinn!!!!

Danke allen beteiligten, ich werde evtl. morgen mal die gesammte Lösung posten. Andere User mit ähnlichem Problem können sich dann hier orientieren!

Vielen Vielen Dank!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]