Beweis: f hat keine Nullstelle < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Forum,
diesmal hab ich eine Aufgabe gefunden, bei der mir nicht klar ist, was genau eigentlich zu zeigen ist:
Sei M [mm] \in \IR [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] eine Folge mit [mm] a_{0}\not=0 [/mm] und [mm] |a_{n}| [/mm] < M für n > 0. Für z [mm] \in \IC, [/mm] |z| < 1 ist die Funktion [mm] f(z):=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n} [/mm] wohldefiniert. Zeigen Sie, dass f für |z| < [mm] \bruch{|a_{0}|}{M+|a_{0}|} [/mm] keine Nullstellen hat.
Andersgesagt, da [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n} [/mm] für solche z konvergiert, muss nur gezeigt werden, dass der Grenzwert der Reihe nicht 0 sein kann? Dann müsste z=0 schonmal ausgeschlossen werden, und trotzdem könnte die Folge [mm] a_{n} [/mm] noch irgendwie mit Vorzeichenwechsel beschaffen sein, so dass als Grenzwert 0 herauskommt. Den Grenzwert konnte ich zwar nach oben mit der geometrischen Reihe abschätzen, aber die Sache mit den Nullstellen kommt mir komisch vor - versteh ich hier die Aufgabe ganz falsch?
Bitte um Rat, mal wieder.
°amai
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Hallo!
> Hallo liebes Forum,
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> diesmal hab ich eine Aufgabe gefunden, bei der mir nicht
> klar ist, was genau eigentlich zu zeigen ist:
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> Sei M [mm]\in \IR[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] eine Folge mit [mm]a_{0}\not=0[/mm] und
> [mm]|a_{n}|[/mm] < M für n > 0. Für z [mm]\in \IC,[/mm] |z| < 1 ist die
> Funktion [mm]f(z):=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n}[/mm]
> wohldefiniert. Zeigen Sie, dass f für |z| <
> [mm]\bruch{|a_{0}|}{M+|a_{0}|}[/mm] keine Nullstellen hat.
> Andersgesagt, da [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*z^{n}[/mm] für
> solche z konvergiert, muss nur gezeigt werden, dass der
> Grenzwert der Reihe nicht 0 sein kann?
Ja.
> Dann müsste z=0
> schonmal ausgeschlossen werden
Wieso? Es ist [mm] a_{0}\not= [/mm] 0. Für z = 0 ist das Ergebnis der Summe gerade [mm] a_{0}.
[/mm]
> und trotzdem könnte die
> Folge [mm]a_{n}[/mm] noch irgendwie mit Vorzeichenwechsel beschaffen
> sein, so dass als Grenzwert 0 herauskommt. Den Grenzwert
> konnte ich zwar nach oben mit der geometrischen Reihe
> abschätzen, aber die Sache mit den Nullstellen kommt mir
> komisch vor - versteh ich hier die Aufgabe ganz falsch?
Nein, du hast schon verstanden, worum es geht.
Folgende Überlegung:
$f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*z^{n} [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}*z^{n}$.
[/mm]
Wenn also für ein [mm] z\in\IC
[/mm]
[mm] $|a_{0}| [/mm] > [mm] \left|\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}*z^{n}\right|$
[/mm]
sein sollte, dann hat f(z) keine Chance, bei diesem z eine Nullstelle zu haben. Verstehst du, wieso?
Mach' es dir anschaulich, in der Gaußschen Zahlenebene, klar: Ich habe eine komplexe Zahl [mm] a_{0}, [/mm] deren Betrag [mm] |a_{0}| [/mm] ist, die also einen Abstand von [mm] |a_{0}| [/mm] zum Koordinatenursprung hat.
Wenn eine zweite komplexe Zahl [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}*z^{n}$ [/mm] einen kleineren Betrag hat, also näher am Ursprung dran ist als [mm] a_{0}, [/mm] dann kann ich [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}*z^{n}$ [/mm] von [mm] a_{0} [/mm] abziehen oder addieren wie ich will - es kann nicht 0 rauskommen.
Du musst also nur zeigen:
[mm] $|a_{0}| [/mm] > [mm] \left|\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}*z^{n}\right|$.
[/mm]
Schätze dazu die Summe zunächst, wie du es getan hast, mit der geometrischen Reihe ab.
Danach wende die gegebene Ungleichung für z an.
Grüße,
Stefan
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Entschuldige die späte Antwort. Okay...
z=0 hatte ich wegen [mm] 0^{0} [/mm] total verplant. In dem Fall macht das viel mehr Sinn, auch das Abschätzen von [mm] |a_{0}| [/mm] > [mm] |\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}| [/mm] =) Allerdings bleibe ich zum Schluss gerade hängen:
[mm] |\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}| \le \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}*z^{n}| [/mm] - [mm] |a_{0}| [/mm] < [mm] M*\summe_{n=0}^{\infty} |z|^{n} [/mm] - [mm] |a_{0}| [/mm] = [mm] \bruch{M}{1-|z|} [/mm] - [mm] |a_{0}| [/mm]
Es gilt |z| < [mm] \bruch{|a_{0}}{M+|a_{0}|}, [/mm] deshalb
[mm] \bruch{M}{1-|z|} [/mm] - [mm] |a_{0}| [/mm] < [mm] \bruch{M}{1-\bruch{|a_{0}|}{M+|a_{0}|}} [/mm] - [mm] |a_{0}| [/mm] = M.
Schlussendlich: [mm] |\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}| [/mm] < M, statt [mm] |a_{0}|.
[/mm]
[Mist, ich brauch schon viel zu lange dafür, die Aufgabe zu verstehen, und dann klappt nicht mal das Handwerk...]
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Hallo!
> Entschuldige die späte Antwort. Okay...
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> z=0 hatte ich wegen [mm]0^{0}[/mm] total verplant. In dem Fall macht
> das viel mehr Sinn, auch das Abschätzen von [mm]|a_{0}|[/mm] >
> [mm]|\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}|[/mm] =) Allerdings bleibe
> ich zum Schluss gerade hängen:
>
> [mm]|\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}| \le \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}*z^{n}|[/mm]
> - [mm]|a_{0}|[/mm] < [mm]M*\summe_{n=0}^{\infty} |z|^{n}[/mm] - [mm]|a_{0}|[/mm] =
> [mm]\bruch{M}{1-|z|}[/mm] - [mm]|a_{0}|[/mm]
Du machst hier denselben Fehler wie im ersten Post!
[mm] $|a_{0}|
Beginne so:
[mm] $\left|\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}\right| \le \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}*z^{n}| [/mm] < [mm] \summe_{n=1}^{\infty} M*|z|^{n} [/mm] = [mm] M*\left(\summe_{n=1}^{\infty} |z|^{n}\right) [/mm] = [mm] M*\left(\summe_{n=0}^{\infty} |z|^{n}-1\right)$,
[/mm]
dann funktioniert's 
>
> Es gilt |z| < [mm]\bruch{|a_{0}}{M+|a_{0}|},[/mm] deshalb
>
> [mm]\bruch{M}{1-|z|}[/mm] - [mm]|a_{0}|[/mm] <
> [mm]\bruch{M}{1-\bruch{|a_{0}|}{M+|a_{0}|}}[/mm] - [mm]|a_{0}|[/mm] = M.
>
> Schlussendlich: [mm]|\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}|[/mm] < M,
> statt [mm]|a_{0}|.[/mm]
>
> [Mist, ich brauch schon viel zu lange dafür, die Aufgabe
> zu verstehen, und dann klappt nicht mal das Handwerk...]
Keine Angst, das Handwerk beherrschst du schon!
Nur leider war der Ansatz falsch, mit dem kommst du nicht zum Ziel.
Grüße,
Stefan
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> Du machst hier denselben Fehler wie im ersten Post!
> [mm]|a_{0}|
> darfst [mm]a_{0}[/mm] nicht abschätzen.
> Beginne so:
>
> [mm]\left|\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*z^{n}\right| \le \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}*z^{n}| < \summe_{n=1}^{\infty} M*|z|^{n} = M*\left(\summe_{n=1}^{\infty} |z|^{n}\right) = M*\left(\summe_{n=0}^{\infty} |z|^{n}-1\right)[/mm],
>
> dann funktioniert's
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Echt schlimme Beweisführung heute.
Vielen Dank!
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