Beweis für Ableitungsregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:41 Di 11.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Kann mir irgendwer bezüglich eines verständlichen Beweises für die Ableitungsregel [mm] f'(x^t)=t*x^{t-1} [/mm] weiterhelfen??
Ich bräuchte einen Beweis für ein Referat in Mathe, den ich auch selbst den anderen erklären kann.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
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Hallo nina!
Verwende doch die Defintion der Ableitung über den Differenzialquotienten:
$f'(x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Das heißt hier also: $f'(x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(x+h)^t-x^t}{h} [/mm] \ = \ ...$
Bei der Umformung verwende den ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatz:
[mm] $(a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n\\0}*a^n*b^0+\vektor{n\\1}*a^{n-1}*b^1+\vektor{n\\2}*a^{n-2}*b^2+...+\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k+...+\vektor{n\\n}*a^{0}*b^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Di 11.07.2006 | | Autor: | nina13 |
1. Irgendwie verstehe ich diesen binomischen Lehrsatz überhaupt nicht, kann damit gar nichts anfangen.
2. Wie soll ich es den anderen denn eigentlich mit einfachen Worten erklären??
3. Die Herleitung verstehe ich auch überhaupt nicht, könntest du mir vielleicht durch Kommentare erklären, was genau gemacht wird?
4. Was ist das für ein Zeichen [mm] \summe_{i=1}^{n}???
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
(Das Ding bei 4. ist ein Summenzeichen! aber ist erstmal unwichtig :) )
Also wir haben das so gelernt:
Wenn man eine Funktion an einem Punkt (P) ableiten will, muss man einen 2. Punkt (Q) auf der Funktion zum 1. Punkt (P) "hinwandern" lassen (Q nähert sich P).
Die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, geht von einer Sekante immer mehr in die Tangente über. Und die Ableitung der Funktion bei P ist ja nur der Anstieg an der Tangente an P. Also muss man den Anstieg der Tangente berechnen.
Der Anstieg dieser Funktion, die durch P und Q geht (immer noch eine Sekante), wird ja immer mit m= [mm] \bruch{y_{p}-y_{q}}{x_{p}-x_{q}} [/mm] beschrieben (Differenzenquotient).
Nähert sich Q nun immer mehr an P, ist der Anstieg
[mm] \limes_{Q\rightarrow P}\bruch{y_{p}-y_{q}}{x_{p}-x_{q}} [/mm] (Differenzialquotient). Das ist dann der Anstieg der Tangente.
Nun nehmen wir mal die Beispielfunktion f(x)=y=3x².
Wenn wir auf dieser Funktion irgendeinen Punkt P, an dem wir ableiten wollen und einen Punkt Q haben, der gegen P geht, dann ist der Anstieg Tangente an dem Punkt [mm] \limes_{Q\rightarrow P}\bruch{y_{p}-y_{q}}{x_{p}-x_{q}}=\limes_{Q\rightarrow P}\bruch{3x_{p}²-3x_{q}²}{x_{p}-x{q}}
[/mm]
Durch Polynomdivision sollte man nun auf die Gleichung
[mm] \limes_{Q\rightarrow P} 3x_{p}+3x_{q} [/mm] kommen. Und wenn man dann für alle [mm] x_{q}s [/mm] die [mm] x_{p}s [/mm] einsetzt (da Q gegen P läuft), sollte man auf [mm] 6x_{p} [/mm] kommen. Die Ableitung wäre also für alle Punkte P auf dieser Funtion f'(x)=6x.
Allgemeiner kann ich es leider nicht machen, aber ich hoffe das hilft dir :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 11.07.2006 | | Autor: | nina13 |
@Teufel:
Ich habe deine Lösung jetzt soweit verstanden, auch nachgerechnet. Allerdings würde ich gerne wissen, wie man darauf komm dann eine Polynomdivision durchzuführen?
Außerdem: Handelt es sich bei deiner Lösung denn tatsächlich um einen mathematischen Beweis??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja Polynomdivison eigentlich nur, um den ganzen Differenzialquotienten zu vereinfachen.
Und ich kann nur sagen, dass mir das so erklärt wurde. Man könnte das mit jeder Funktion machen und man würde immer darauf stoßen, dass
[mm] c\*x^{t} [/mm] zu [mm] ct\*x^{t-1} [/mm] wird.
Wir haben das mit 3 beliebigen Funktionen probiert und dann wurde uns nur gesagt, dass wir das mit jeder anderen machen könnten, aber dass wir uns das jetzt sparen ;) natürlich muss die Funktion dafür an jeder Stelle differenzierbar sein.
Naja, vielleicht haben die "Großen" hier noch einen besseren Beweis, der nicht zu sehr in's Fachchinesisch geht ;) aber wenn du nichts findest kannst du ja meinen nehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 11.07.2006 | | Autor: | nina13 |
Ich denke eher, dass es sich hierbei eher nur um eine andere Methode handelt, um die Ableitung zu machen. Bin mir aber nicht sicher.
Denn bewiesen wird ja nicht direkt, dass man auch die Potenzregel anwenden kann, mann kommt einfach nur zum selben Ergebnis (weiß jetzt nicht genau wie ich erklären soll, was ich meine  )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 11.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja sorry, mehr würde mir dazu auch nicht einfallen. Auf alle Fälle ist damit bewiesen, dass bei einer bestimmten Funktion die Ableitung für alle Punkte gilt.
Allgemeiner könnte man es machen wenn man
[mm] f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0} [/mm] nimmt, aber... nee lieber doch nicht ;)
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