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| Aufgabe | | Gegeben seien zwei Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] im [mm] \IR^n. [/mm] Die Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiere gegen 0, die Folge [mm] (y_n) [/mm] sei beschränkt. Zeigen Sie, dass [mm] x_n [/mm] * [mm] y_n [/mm] gegen Null konvergiert. (* soll das Skalarprodukt seien) |
Dass [mm] (x_n) [/mm] gegen 0 konvergiert, bedeutet:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 [/mm] s.d. [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] N(x_n-x_0)<\varepsilon
[/mm]
Dass [mm] (y_n) [/mm] beschränkt ist, bedeutet:
[mm] \exists [/mm] R > 0, s.d. [mm] (y_n) \subset B_R(0)
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, ob mir diese Definitionen weiterhelfen. Kriege keinen Ansatz hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben seien zwei Folgen [mm](x_n)[/mm] und [mm](y_n)[/mm] im [mm]\IR^n.[/mm] Die
> Folge [mm](x_n)[/mm] konvergiere gegen 0, die Folge [mm](y_n)[/mm] sei
> beschränkt. Zeigen Sie, dass [mm]x_n[/mm] * [mm]y_n[/mm] gegen Null
> konvergiert. (* soll das Skalarprodukt seien)
> Dass [mm](x_n)[/mm] gegen 0 konvergiert, bedeutet:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_0[/mm] s.d. [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm]
> : [mm]N(x_n-x_0)<\varepsilon[/mm]
> Dass [mm](y_n)[/mm] beschränkt ist, bedeutet:
Der Betrag jedes Folgenglieds ist kleiner oder gleich der Schranke S.
Damit ist der Betrag von [mm] x_n*y_n [/mm] kleiner oder gleich [mm] x_n*S [/mm] ("konstanter Faktor S mal Nullfolge").
Gruß Abakus
> [mm]\exists[/mm] R > 0, s.d. [mm](y_n) \subset B_R(0)[/mm]
> Jetzt weiß ich
> nicht, ob mir diese Definitionen weiterhelfen. Kriege
> keinen Ansatz hin.
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Ok, danke, das ging ja einfach.
Was mir noch nicht klar ist, wieso man einfach sich ne Schranke nehmen darf. Ich dachte das geht nur in [mm] \IR. [/mm] Kann man das dann einfach auch im [mm] \IR^n [/mm] machen? Muss man da nicht kugeln nehmen, wenn ne Menge beschränkt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok, danke, das ging ja einfach.
> Was mir noch nicht klar ist, wieso man einfach sich ne
> Schranke nehmen darf. Ich dachte das geht nur in [mm]\IR.[/mm] Kann
> man das dann einfach auch im [mm]\IR^n[/mm] machen? Muss man da
> nicht kugeln nehmen, wenn ne Menge beschränkt ist?
Oh verdammt,
das kleine hochgestellte n hatte ich glatt überlesen. Hier muss ich passen. Überlege trotzdem mal, ob sich die Überlegung auf den [mm] \IR^n [/mm] irgendwie übertragen lässt.
Gruß Abakus
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Ja also ich frage mich auch, ob man es nicht übertragen kann.
Ich weiß nicht, ob man ausgehen kann, wenn [mm] (y_n) [/mm] beschränkt ist, dass es dann bedeutet: Es existiert ein Vektor S [mm] \in \IR^n [/mm] so dass alle Punkte aus [mm] (y_n) [/mm] < S sind!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Ja also ich frage mich auch, ob man es nicht übertragen
> kann.
> Ich weiß nicht, ob man ausgehen kann, wenn [mm](y_n)[/mm]
> beschränkt ist, dass es dann bedeutet: Es existiert ein
> Vektor S [mm]\in \IR^n[/mm] so dass alle Punkte aus [mm](y_n)[/mm] < S sind!?
Seit wann können den Punkte kleiner als Vektoren sein?
Was du sicher meinst, dass die Beträge der Vektoren kleiner sind als der Betrag des betragsgrößten Vektors?
Gruß Abakus
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Ja vom Betrag her meinte ich. Aber ob es richtig ist, weiß ich nicht.
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Huhu,
wenn eine Folge [mm] x_n [/mm] beschränkt ist, heißt es ja, dass es ein r [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass alle Folgeglieder innerhalb dieser r-Kugel um 0 liegen.
Insbesondere ist also der Betrag eines jeden Vektors [mm] x_n [/mm] kleiner gleich r, was heisst das Betragsmäßig also für jede Komponente [mm] x_{n_i} [/mm] ?
MfG,
Gono.
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Dass jede Komponente beschränkt ist, also dass sie kleiner r ist?
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Hallo Heureka,
> Dass jede Komponente beschränkt ist, also dass sie kleiner
> r ist?
Ja, und das betragsmäßig.
Für jede Komponente [mm] $x_i$ [/mm] gilt [mm] $|x_i|\le [/mm] r$
Sonst wäre der Vektor ja nicht innerhalb der $r$-Kugel, denn $||x||$ wäre sonst $>r$ ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 So 19.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ganz einfach gehts mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
$|a*b| [mm] \le [/mm] ||a||* ||b||$ für a,b [mm] \in \IR^n
[/mm]
wobei $||.||$ die euklidische Norm auf [mm] \IR^n [/mm] ist.
[mm] (y_n) [/mm] ist beschränkt, also ex. ein M>0 mit: [mm] $||y_n|| \le [/mm] M$ für jedes n
Somit
[mm] $|x_n*y_n| \le ||x_n||* [/mm] M$
und [mm] $(||x_n||)$ [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
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