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Guten Abend nochmal euch allen,
ich sitze vor einer Aufgabe die für mich ein richtiges Rätsel ist. Die Fragestellung sieht recht einfach aus, aber ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Da eine solche Aufgabe sicher in einer Klausur kommen kann interessiert es mich vor allem wie man sie lösen kann.
Sei I: (0,1] [mm] \to \IR [/mm] definiert durch
I(t)= [mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{(x^4+t^4)^\bruch{1}{4}}+ln t}
[/mm]
Jetzt heisst es: Zeige, dass I(t) [mm] \ge [/mm] 0.
Dann haben wir als Hinweis gegeben: [mm] (x+t)^4 \ge x^4+t^4
[/mm]
Kann mir da jemand helfen?
Gute Nacht euch allen noch und viel Spass noch.
Danke für´s Lesen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Di 03.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Prinzessin
> ich sitze vor einer Aufgabe die für mich ein richtiges
> Rätsel ist. Die Fragestellung sieht recht einfach aus, aber
> ich weiß nicht wie ich da ansetzen soll. Da eine solche
> Aufgabe sicher in einer Klausur kommen kann interessiert es
> mich vor allem wie man sie lösen kann.
>
> Sei I: (0,1] [mm]\to \IR[/mm] definiert durch
> I(t)= [mm]\integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{(x^4+t^4)^\bruch{1}{4}}+ln t}[/mm]
>
> Jetzt heisst es: Zeige, dass I(t) [mm]\ge[/mm] 0.
> Dann haben wir als Hinweis gegeben: [mm](x+t)^4 \ge x^4+t^4[/mm]
>
> Kann mir da jemand helfen?
>
Ich denke, man sollte den Hinweis einfach mal von rechts nach links lesen, also so:
[mm] $x^4+t^4 \le (x+t)^4$
[/mm]
Und für positives $a_$ und $b_$ gilt auch: $a [mm] \ge [/mm] b [mm] \gdw \bruch{1}{a} \le \bruch{1}{b}$
[/mm]
Damit kann man für den Nenner des Bruches folgendes überlegen:
[mm] $(x^4+t^4)^\bruch{1}{4} \le [/mm] (x+t)$ (Das hoch 4 und hoch 1/4 heben sich weg.)
Und somit:
[mm] $\bruch{1}{(x^4+t^4)^\bruch{1}{4}} \ge \bruch{1}{x+t}$
[/mm]
Und endlich:
[mm] $\integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{(x^4+t^4)^\bruch{1}{4}}} [/mm] + [mm] \ln [/mm] t [mm] \ge \integral_{0}^{1} {\bruch{dx}{x+t}} [/mm] + [mm] \ln t=\ln [/mm] (1+t) - [mm] \ln [/mm] (t) + [mm] \ln [/mm] (t) = [mm] \ln [/mm] (1+t) > 0$ für $t [mm] \in [/mm] (o,1]$ 
Ist alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Paulus,
danke für die Antwort. Ich kann das etwas nachvollziehen, aber werde es mal nochmal selbst versuchen.
Wenn I(t) [mm] \ge [/mm] 0 ist, ist dann auch I'(t) [mm] \ge [/mm] 0 ?
Um das zu zeigen hat man uns gegeben, dass man x mit [mm] y=\bruch{x}{t}
[/mm]
substituieren soll. Warum?
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Hallo Prinzessin,
wenn Du die Substitution durchführst, bekommst Du doch [mm] $I(t)=\integral_{0}^{\bruch{1}{t}}{\bruch{1}{\wurzel[4]{1+y^4}}}dy+ln(t)$.
[/mm]
Der Logarithmus ist leicht zu differenzieren und das Integral mit Kettenregel auch (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzen!).
Dann mußt Du nur noch zeigen, dass das so erhaltene [mm] $I^{'}(t)$ [/mm] für [mm] $0
Viel Erfolg,
Peter
P.S.: Wahlweise kannst Du auch [mm] $I(t)=\frac{1}{2} \coth ^{-1}(\sqrt[4]{t^4+1})-\frac{1}{2} \tan ^{-1}(\sqrt[4]{t^4+1})+\log (t)+\frac{\pi }{4}$ [/mm] ableiten, aber dazu müsstes Du diese Darstellung erst zeigen (knifflig!!!).
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Dankeschön für die Antwort!!!!
Fäät der log weg???
ich habe mit der Kettenregel noch nie abgeleitet....
Kann mir jemand helfen???
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Hallöle nochmal,
> Dankeschön für die Antwort!!!!
>
> Fällt der log weg???
> ich habe mit der Kettenregel noch nie abgeleitet....
>
> Kann mir jemand helfen???
unter diesen Umständen wird das schwierig... 
Im Ernst: Du schlägst Dich mit wilden Integralen 'rum und hast noch nie die Kettenregel benutzt oder das wundersame "Verschwinden" des Logarithmus beim Differenzieren bestaunt?
Wie dem auch sei..
wenn wir mal das Integral taufen: [mm] $F(z)=\integral_{0}^{z}{\bruch{1}{\wurzel[4]{1+y^4}}}dy$ [/mm] (beachte, dass z als obere Grenze verwendet wird!), dann ist Dein [mm] $I(t)=F\left(\bruch{1}{t}\right)+\ln(t)$.
[/mm]
Also ist [mm] $I^{'}(t)=-\bruch{1}{t^{2}}\cdot F^{'}\left(\bruch{1}{t}\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{t}$, [/mm] denn die Ketenregel besagt, dass $f(g(x))'=g'(x)*f'(g(x))$ ist (bekannt und beliebt als: "innere mal äußere Ableitung"). Jetzt noch den bereits erwähnten Hauptsatz (Kurzfassung eines Spezialfalls: [mm] $\bruch{d}{dz}\left(\int_{0}^{z}{f(x)}dx\right)=f(z)\quad$) [/mm] anwenden, alles auf einen Hauptnenner bringen und sich erinnern, dass $t>0$ ist.
Viel Spaß beim Knobeln,
Peter
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