Beweis für Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:48 Mo 23.09.2013 | | Autor: | P357 |
Ich bin durch ausprobieren darauf gekommen das:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{a^{n}})=\bruch{1}{a - 1}
[/mm]
Wie kann ich das beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Di 24.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Formel stimmt so nicht. aber sieh mal unter geometrische Reihe in wiki oder mit google nach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Di 24.09.2013 | | Autor: | P357 |
Warum stimmt sie nicht, ich glaube sie stimmt unter der Bedingung das [mm] a\ge2 [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 24.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warum stimmt sie nicht, ich glaube sie stimmt unter der
> Bedingung das [mm]a\ge2[/mm] ist.
die Bedingung ist $|1/a| < 1$ (oder $|a| > [mm] 1\,$) [/mm] und korrekt müßte anstatt
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{a^{\red{n}}})=\bruch{1}{a - 1} [/mm] $
da bspw.
[mm] $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{a^\textblue{i}}=\frac{1}{a-1}$
[/mm]
da stehen:
Für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt nämlich (siehe geometrische Reihe - der Beweis dazu ist
einfach - gegebenenfalls frag' halt nach!)
[mm] $\sum_{k=\red{0}}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
Daher
[mm] $(\*)$ $\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k=q*\sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=\frac{q}{1-q}\,.$
[/mm]
Mit $q=1/a$ (unter Beachtung von $|q| < 1 [mm] \iff [/mm] |1/a| < 1 [mm] \iff [/mm] |a| > 1$) also
[mm] $\sum_{k=\red{1}}^\infty \frac{1}{a^k}=\sum_{k=\red{1}}^\infty \left(\frac{1}{a}\right)^k\stackrel{(\*)}{=}\frac{1/a}{1\;-\;1/a}=\frac{\tfrac{1}{a}*a}{a-1}=\frac{1}{a-1}\,.$
[/mm]
P.S. Genauer gesagt gilt: [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/a^k$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn
$|a| > 1$ ist (weil dann $|1/a| < 1$ ist) und ist für $0 < |a| [mm] \le [/mm] 1$ divergent - der Fall
[mm] $a=0\,$ [/mm] "darf nicht betrachtet werden/darf nicht zugelassen werden". Im Falle
der Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/a^k$ [/mm] (d.h. falls $|a| [mm] \red{\,>\,}1$) [/mm] existiert also der Grenzwert
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/a^k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 1/a^k$ [/mm] mit
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/a^k=\frac{1}{a-1}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Warum stimmt sie nicht, ich glaube sie stimmt unter der
> Bedingung das [mm]a\ge2[/mm] ist.
Hallo P357,
falls du die Gleichung richtig schreibst, nämlich
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{a^{i}}\right)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{a - 1} [/mm] $
(einheitlicher Index ! , wie Marcel schon bemerkt hat)
dann ist sie für $\ [mm] a\ge [/mm] 2$ tatsächlich gültig.
Ich vermute, dass du bei der Variablen a erst
mal an natürliche Zahlen gedacht hast: [mm] a\in\IN. [/mm]
Dann wäre $\ [mm] a\ge [/mm] 2$ auch absolut korrekt als
Angabe des (maximalen) Gültigkeitsbereiches.
Falls man aber als Grundmenge für a die reellen
Zahlen voraussetzt, ist auch der maximale
Definitionsbereich größer. Es genügt dann, zu
verlangen, dass $\ |a|>1$ ist. Insbesondere sind
dann also auch negative Werte für $\ a$ erlaubt.
Zu einem einfachen Beweis kannst du zum Beispiel
so kommen:
Betrachte zunächst eine Teilsumme mit n (anstatt
[mm] \infty [/mm] vielen) Summanden:
$ [mm] S_n:=\ \summe_{i=1}^{n} \left(\bruch{1}{a^{i}}\right)$
[/mm]
Betrachte dann den Term
$\ [mm] T_n\ [/mm] =\ [mm] (a-1)*S_n\ [/mm] =\ [mm] a*S_n\,-\,S_n$
[/mm]
Setze für beide [mm] S_n [/mm] den Summenausdruck ein,
multipliziere das $\ a$ in die zweite Summe ein und
fasse dann alles zu einer einzigen Summe zusammen.
Dabei fällt vieles heraus. Was bleibt stehen ?
In einem weiteren Schritt kannst du dir dann klar
machen, was geschieht, wenn n über alle Grenzen
hinaus wächst und gegen [mm] \infty [/mm] strebt.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 24.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Warum stimmt sie nicht, ich glaube sie stimmt unter der
> > Bedingung das [mm]a\ge2[/mm] ist.
>
>
>
> Hallo P357,
>
> falls du die Gleichung richtig schreibst, nämlich
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{a^{i}}\right)\ =\ \bruch{1}{a - 1}[/mm]
>
> (einheitlicher Index ! , wie Marcel schon bemerkt hat)
>
> dann ist sie für [mm]\ a\ge 2[/mm] tatsächlich gültig.
>
> Ich vermute, dass du bei der Variablen a erst
> mal an natürliche Zahlen gedacht hast: [mm]a\in\IN.[/mm]
> Dann wäre [mm]\ a\ge 2[/mm] auch absolut korrekt als
> Angabe des (maximalen) Gültigkeitsbereiches.
> Falls man aber als Grundmenge für a die reellen
> Zahlen voraussetzt, ist auch der maximale
> Definitionsbereich größer. Es genügt dann, zu
> verlangen, dass [mm]\ |a|>1[/mm] ist. Insbesondere sind
> dann also auch negative Werte für [mm]\ a[/mm] erlaubt.
>
> Zu einem einfachen Beweis kannst du zum Beispiel
> so kommen:
> Betrachte zunächst eine Teilsumme mit n (anstatt
> [mm]\infty[/mm] vielen) Summanden:
>
> [mm]S_n:=\ \summe_{i=1}^{n} \left(\bruch{1}{a^{i}}\right)[/mm]
>
> Betrachte dann den Term
>
> [mm]\ T_n\ =\ (a-1)*S_n\ =\ a*S_n\,-\,S_n[/mm]
>
> Setze für beide [mm]S_n[/mm] den Summenausdruck ein,
> multipliziere das [mm]\ a[/mm] in die zweite Summe ein und
> fasse dann alles zu einer einzigen Summe zusammen.
> Dabei fällt vieles heraus. Was bleibt stehen ?
>
> In einem weiteren Schritt kannst du dir dann klar
> machen, was geschieht, wenn n über alle Grenzen
> hinaus wächst und gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
ich finde den Beweis gut, aber prinzipiell imitiert man einfach den Beweis
der geometrischen Reihe (mit einer Substitution) oder variiert diesen halt
entsprechend ein wenig. Diesen habe ich hier schon mehrfach vorgeführt,
bspw.
hier (klick! [eigtl. Beweis der geometrischen Summenformel])
Ergänzen kann man dann noch, dass man
[mm] $(\*)$ $\lim_{n \to \infty}q^n=0$ [/mm] für $|q| [mm] \,<\,1$
[/mm]
bspw. mit dem binomischen Lehrsatz (oder einfach der  Bernoulli-Ungleichung)
beweisen kann, indem man (o.E. $q [mm] \not=0$)
[/mm]
$|q| [mm] \,<\,1$ $\iff$ $\exists \,\epsilon \,>\,0$ [/mm] mit $1/|q| [mm] \,=\,1+\epsilon$
[/mm]
benutzt. (Es gibt noch eine andere Beweismethode für [mm] $(\*)$, [/mm] die eher
unüblich ist; mir war sie während meiner Vordiplomprüfung eingefallen, und
man braucht dabei wenigstens die Kenntnis, dass absolut konvergente Reihen
(in [mm] $\IR$) [/mm] auch konvergieren und dass für die Konvergenz einer Reihe die
Folge der Summanden notwendig eine Nullfolge ist. Zudem sollte [mm] $a_n \to [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $|a_n| \to [/mm] 0$ klar/bekannt sein!)
Gruß,
Marcel
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> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{a^{i}}\right)\ =\ \bruch{1}{a - 1}[/mm]
> > Zu einem einfachen Beweis kannst du zum Beispiel
> > so kommen:
> > Betrachte zunächst eine Teilsumme mit n (anstatt
> > [mm]\infty[/mm] vielen) Summanden:
> >
> > [mm]S_n:=\ \summe_{i=1}^{n} \left(\bruch{1}{a^{i}}\right)[/mm]
> >
> > Betrachte dann den Term
> >
> > [mm]\ T_n\ =\ (a-1)*S_n\ =\ a*S_n\,-\,S_n[/mm]
> >
> > Setze für beide [mm]S_n[/mm] den Summenausdruck ein,
> > multipliziere das [mm]\ a[/mm] in die zweite Summe ein und
> > fasse dann alles zu einer einzigen Summe zusammen.
> > Dabei fällt vieles heraus. Was bleibt stehen ?
> >
> > In einem weiteren Schritt kannst du dir dann klar
> > machen, was geschieht, wenn n über alle Grenzen
> > hinaus wächst und gegen [mm]\infty[/mm] strebt.
>
> ich finde den Beweis gut, aber prinzipiell imitiert man
> einfach den Beweis
> der geometrischen Reihe (mit einer Substitution) oder
> variiert diesen halt
> entsprechend ein wenig.
Hallo Marcel,
es ging mir eben gerade nicht darum, irgendeinen
anderen Beweis zu "imitieren", sondern exakt von dem
auszugehen, wasP357 nach seiner Aussage durch eigenes
Probieren herausgefunden hat (mit einem [mm] a\in\IN),
[/mm]
und ihm von da aus einen möglichst kurzen Weg zu
einem Beweis aufzuzeigen.
LG , Al-Chw.
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