Beweis für Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mi 07.06.2006 | | Autor: | imbezil |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Funktion F mit F(x)= ln ( x² + 1 ) Stammfunktion von f(x)=2x / x²+1 ist. |
Wie soll man denn das zeigen? Ich wiederhole gerade für mündliches abi , aber ich hab k.a. wie ich das machen soll.
Ich weiss noch nicht einmal wie es zu der Stammfunktion kommen kann.
Dass die Ableitung von lnx = 1/x und lnx somit die Stammfunktion weiss ich, aber ich kann daraus keine rückschlüsse ziehen.
Kann mir bitte jemand helfen? Ich stehe völlig aufm Schlauch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Am besten finde ich, wenn du zeigst, dass die Ableitung von F(x) dir wieder f(x) gibt.
Du weißt, dass [mm] \bruch{d}{dx}ln(x)=[ln(x)]'=\bruch{1}{x} [/mm] (*) ist.
D.h., wir können nun fleißig die Funktion [mm] ln(x^2+1) [/mm] ableiten.
Wie? Mit der Kettenregel! Die besagt: Innere Ableitung mal äußere Ableitung.
In unserem Fall ist ln(x) die äußere Funktion und [mm] x^{2}+1 [/mm] die innere. (Hoffe das siehst du genauso!  )
Leiten wir also zuerst die Innere Funktion ab ...
[mm] [x^{2}+1]'=2*x
[/mm]
Und nun die Äußere ...
[mm] [ln(x^{2}+1)]'=\bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] gemäß unserer Gleichung (*).
Wenn dir das nicht klar ist, führe einfach folgende Substitution durch:
Ersetze [mm] x^{2}+1 [/mm] durch a, leite dann ln(a) nach a ab und ersetze im Ergebnis wieder a durch [mm] x^{2}+1.
[/mm]
Okay. Jetzt "innere mal äußere" ...
[mm] 2*x*\bruch{1}{x^{2}+1}=F'(x)=f(x).
[/mm]
Und somit wärst du fertig!
Hoffe das war einigermaßen verständlich!
Viel Spaß noch beim Rechnen und viel Erfolg beim Abi!
Lg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Do 08.06.2006 | | Autor: | imbezil |
Ooooh natürlich!
Vielen lieben Dank!
Ich doofe Nuss habe die ganze Zeit versucht krankhaft f(x) aufzuleiten , anstatt wie es am einfachsten ist, einfach F(x) abzuleiten *seufz*
vielen Dank!
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