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Forum "Integration" - Beweis für Stammfunktion
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Beweis für Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Do 17.04.2008
Autor: mai

Hallo Ihr Lieben!

Aufgabe ist es, zu zeigen, dass folgendes gilt:

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{dx}{x^{3}+1}} [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{0}^{R}{\bruch{dx}{x^{3}+1}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3*\wurzel{3}}*\pi [/mm]

Das Integral ohne Grenzen habe ich berechnen
können, hier die Stammfunktion:

[mm] \bruch{1}{3}*ln(x+1)+\bruch{1}{\wurzel{3}}*arctan(\bruch{2*x-1}{\wurzel{3}}) -\bruch{1}{6}*ln(4*\bruch{(x-\bruch{1}{2})^2}{3}+1)+c [/mm]

Nun weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll,
dass für diese Stammfunktion [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} [/mm]
der Term mit [mm] \pi [/mm] ergeben soll!

Kann mir da jemand helfen?

        
Bezug
Beweis für Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Do 17.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Hallo Ihr Lieben!
>  
> Aufgabe ist es, zu zeigen, dass folgendes gilt:
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{dx}{x^{3}+1}}[/mm] =
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{0}^{R}{\bruch{dx}{x^{3}+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3*\wurzel{3}}*\pi[/mm]
>  
> Das Integral ohne Grenzen habe ich berechnen
>  können, hier die Stammfunktion:
>  
> [mm]\bruch{1}{3}*ln(x+1)+\bruch{1}{\wurzel{3}}*arctan(\bruch{2*x-1}{\wurzel{3}}) -\bruch{1}{6}*ln(4*\bruch{(x-\bruch{1}{2})^2}{3}+1)+c[/mm]
>  
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll,
>  dass für diese Stammfunktion [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}[/mm]
>  der Term mit [mm]\pi[/mm] ergeben soll!
>  
> Kann mir da jemand helfen?

Hallo,

nun müßtest Du ja R einsetzten, davon den Ausdruck mit eingesetzter 0 subtrahieren, dann R gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen. Eventuell könnte es nützlich sein, noch ln-Gesetze zu verwenden.

(das, was im letzten ln steht, scheint mir übrigens nicht richtig zu sein.)

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Beweis für Stammfunktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:49 Do 17.04.2008
Autor: mai

Vielen Dank, hatte mich mit den Klammern vertan...

Ja, ich habe R eingesetzt, mit Ausdruck-0 subtrahiert und
gegen $ [mm] \infty [/mm] $ laufen lassen, aber da kommt sowas
bei raus:

$ [mm] \infty [/mm] $ + [mm] \pi/4 [/mm] - [mm] \infty [/mm] -0 -0,3 + 0,048

Wie kommt man denn auf [mm] \bruch{2*\pi}{3*\wurzel{3}}? [/mm] :-(

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Beweis für Stammfunktion: Tippen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 Do 17.04.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

schreib doch mal hin, was Du stehen hast, wenn Du einsetzt, und wie Du dann weitergerechnet hast.

Das ist für Antwortende nämlich viel bequemer. Sonst muß man alles selbst tippen und selbst rechnen und dazu noch ständig drüber nachgrübeln, welche Fehler man an welcher Stelle machen könnte.

Gruß v. Angela


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Beweis für Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Do 17.04.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Die Stammfunktion ist falsch, im letzten Teil ist ein kleiner Fehler drin

Es gilt:

[mm] \integral\bruch{dx}{x³+1}=\bruch{\arctan{\bruch{2x-1}{\wurzel{3}}}}{\wurzel{3}}+\bruch{\ln(x+1)}{3}-\red{\bruch{\ln(x²-x+1)}{6}} [/mm]

Und wenn du jetzt F(R)-F(0) bestimmst, solltest du auf den Grenzwert kommen.

Marius

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Beweis für Stammfunktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:08 Do 17.04.2008
Autor: mai

Hab's hinbekommen, danke an alle Helfer! :-)

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