Beweis für Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 17.04.2008 | | Autor: | mai |
Hallo Ihr Lieben!
Aufgabe ist es, zu zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{dx}{x^{3}+1}} [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{0}^{R}{\bruch{dx}{x^{3}+1}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3*\wurzel{3}}*\pi
[/mm]
Das Integral ohne Grenzen habe ich berechnen
können, hier die Stammfunktion:
[mm] \bruch{1}{3}*ln(x+1)+\bruch{1}{\wurzel{3}}*arctan(\bruch{2*x-1}{\wurzel{3}}) -\bruch{1}{6}*ln(4*\bruch{(x-\bruch{1}{2})^2}{3}+1)+c
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll,
dass für diese Stammfunktion [mm] \limes_{R\rightarrow\infty}
[/mm]
der Term mit [mm] \pi [/mm] ergeben soll!
Kann mir da jemand helfen?
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> Hallo Ihr Lieben!
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> Aufgabe ist es, zu zeigen, dass folgendes gilt:
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{dx}{x^{3}+1}}[/mm] =
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{0}^{R}{\bruch{dx}{x^{3}+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3*\wurzel{3}}*\pi[/mm]
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> Das Integral ohne Grenzen habe ich berechnen
> können, hier die Stammfunktion:
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> [mm]\bruch{1}{3}*ln(x+1)+\bruch{1}{\wurzel{3}}*arctan(\bruch{2*x-1}{\wurzel{3}}) -\bruch{1}{6}*ln(4*\bruch{(x-\bruch{1}{2})^2}{3}+1)+c[/mm]
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> Nun weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll,
> dass für diese Stammfunktion [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}[/mm]
> der Term mit [mm]\pi[/mm] ergeben soll!
>
> Kann mir da jemand helfen?
Hallo,
nun müßtest Du ja R einsetzten, davon den Ausdruck mit eingesetzter 0 subtrahieren, dann R gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen. Eventuell könnte es nützlich sein, noch ln-Gesetze zu verwenden.
(das, was im letzten ln steht, scheint mir übrigens nicht richtig zu sein.)
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:49 Do 17.04.2008 | | Autor: | mai |
Vielen Dank, hatte mich mit den Klammern vertan...
Ja, ich habe R eingesetzt, mit Ausdruck-0 subtrahiert und
gegen $ [mm] \infty [/mm] $ laufen lassen, aber da kommt sowas
bei raus:
$ [mm] \infty [/mm] $ + [mm] \pi/4 [/mm] - [mm] \infty [/mm] -0 -0,3 + 0,048
Wie kommt man denn auf [mm] \bruch{2*\pi}{3*\wurzel{3}}? [/mm] :-(
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Hallo,
schreib doch mal hin, was Du stehen hast, wenn Du einsetzt, und wie Du dann weitergerechnet hast.
Das ist für Antwortende nämlich viel bequemer. Sonst muß man alles selbst tippen und selbst rechnen und dazu noch ständig drüber nachgrübeln, welche Fehler man an welcher Stelle machen könnte.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 17.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Stammfunktion ist falsch, im letzten Teil ist ein kleiner Fehler drin
Es gilt:
[mm] \integral\bruch{dx}{x³+1}=\bruch{\arctan{\bruch{2x-1}{\wurzel{3}}}}{\wurzel{3}}+\bruch{\ln(x+1)}{3}-\red{\bruch{\ln(x²-x+1)}{6}}
[/mm]
Und wenn du jetzt F(R)-F(0) bestimmst, solltest du auf den Grenzwert kommen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Do 17.04.2008 | | Autor: | mai |
Hab's hinbekommen, danke an alle Helfer! 
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