Beweis für Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweise, dass gilt:
a < b [mm] \wedge [/mm] c < d
=> a+c < c+d |
Guten Tag.
Obige Aufgabenstellung habe ich heute erhalten. Zur Lösung haben wir folgende Aussagen:
(1) a < b <=> b-a > 0
(2) a [mm] \le [/mm] b :<=> a < b [mm] \vee [/mm] a = b
(3) a < b <=> a+c < b+c
(4) a < b <=> da < db, wenn 0 [mm] \le [/mm] b
(5) a < b <=> da > db, wenn d [mm] \le [/mm] 0
Ist es hier möglich, zum Beispiel eine Umformung nach dem Muster:
a+(d-c) < b+(d-c)
durchzuführen? Wenn nicht, wie könnte ich sonst starten? Ansonsten wäre durch diese Umformung ja bereits über (3) bewiesen, dass es gilt.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Beweise, dass gilt:
>
> a < b [mm]\wedge[/mm] c < d
> => a+c < c+d
> Guten Tag.
>
Ich nehme im Folgenden einmal an, dass dir da ein Tippfehler unterlaufen ist. Zu zeigen ist sicherlich
a+c<b+d
(wie du es weiter unten ja auch ansetzt).
> Obige Aufgabenstellung habe ich heute erhalten. Zur Lösung
> haben wir folgende Aussagen:
>
> (1) a < b <=> b-a > 0
> (2) a [mm]\le[/mm] b :<=> a < b [mm]\vee[/mm] a = b
> (3) a < b <=> a+c < b+c
> (4) a < b <=> da < db, wenn 0 [mm]\le[/mm] b
> (5) a < b <=> da > db, wenn d [mm]\le[/mm] 0
>
> Ist es hier möglich, zum Beispiel eine Umformung nach dem
> Muster:
>
> a+(d-c) < b+(d-c)
>
> durchzuführen? Wenn nicht, wie könnte ich sonst starten?
Das man sie durchführen darf, sagt dir (3). Eine andere Frage ist, was sie dir nützt. Meiner Ansicht nach hier nicht so viel.
Es geht verblüffend einfach: nutze (3), um auf beiden Seiten c zu addieren. Nutze dann die Voraussetztung c<d, um die rechte Seite noch nach oben abzuschätzen. Dann kommt die Behauptung zunächst als Ungleichungskette heraus, bei der man natürlich den mittleren Term 'vergessen' darf.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Es geht verblüffend einfach: nutze (3), um auf beiden Seiten c zu addieren. Nutze dann die Voraussetztung c<d, um die rechte Seite noch nach oben abzuschätzen. Dann kommt die Behauptung zunächst als Ungleichungskette heraus, bei der man natürlich den mittleren Term 'vergessen' darf. |
Ehrlich gesagt verstehe ich den Ansatz nicht ganz. Also das, was du mit dem addieren von c durch (3) meinst, denke ich schon.
Da hätte ich dann a+2c < b+d+c - was meinst du hier mit "nach oben hin abschätzen", und was bringt mir b > c?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Es geht verblüffend einfach: nutze (3), um auf beiden
> Seiten c zu addieren. Nutze dann die Voraussetztung c<d, um
> die rechte Seite noch nach oben abzuschätzen. Dann kommt
> die Behauptung zunächst als Ungleichungskette heraus, bei
> der man natürlich den mittleren Term 'vergessen' darf.
> Ehrlich gesagt verstehe ich den Ansatz nicht ganz. Also
> das, was du mit dem addieren von c durch (3) meinst, denke
> ich schon.
>
> Da hätte ich dann a+2c < b+d+c - was meinst du hier mit
> "nach oben hin abschätzen", und was bringt mir b > c?
Bitte gegebene Antworten gründlicher durchlesen! 
Ich hatte dir ja geschrieben, dass dein Ansatz nicht zielführend ist. Weil so schönes Wetter ist, will ich mal nicht so sein, und meinen hier angeben:
a<b <=> (wegen (3) )
a+c<b+c => (wegen der Voraussetzung c<d)
a+c<b+c<b+d =>
a+c<b+d ; q.e.d.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Bazinga123 |
Hallo,
Ich schätze, da hatte ich einfach die "a+c < b+d"-Brille auf. So ergibt das alles viel mehr Sinn. :) Vielen Dank!
LG
|
|
|
|
