Beweis für abelsche Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: Eine Gruppe G ist genau dann abelsch wenn [mm] ghg^{-1}h^{-1}=e [/mm] für alle g, h [mm] \in [/mm] G. |
Tachchen!
Mein versuchter Beweis:
1) [mm] g*h*g^{-1}*h^{-1}=(g*h)(g^{-1}*h^{-1})=(g*h)(g*h)^{-1}=g*h*h^{-1}*g^{-1}=g*(h*h^{-1})*g^{-1}=g*e*g^{-1}=g*g^{-1}=e
[/mm]
und nochmal der Beweis auf einem anderen Weg:
2) [mm] g*h*g^{-1}*h^{-1}=(gh)^{1}*(gh)^{-1}=gh^{1-1}=gh^{0}=e
[/mm]
Ist einer davon richtig? Oder kann ich das bei der Aufgabenstellung so nicht machen?
Noch eine Frage:
Es sei G eine Gruppe mit [mm] g^{2}=e [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] G. Man zeige, dass G abelsch ist.
Wie gehe ich diese Aufgabe an?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 27.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Du musst beide Richtungen zeigen (=genau dann!):
1: G sei abelsch (also es gilt Komm-Gesetz) dann folgt [mm] $ghg^{-1}h^{-1}=e$
[/mm]
2. wenn [mm] $ghg^{-1}h^{-1}=e$ [/mm] gilt dann gilt a.b=b.a für beliebige Gruppenelemente [mm] $a,b\in [/mm] G$
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mi 27.10.2010 | | Autor: | low_head |
Aber wieso sind meine 2 Versuche nicht in Ordnung?
ich zeige damit doch auch, dass es gilt.
1) $ [mm] g\cdot{}h\cdot{}g^{-1}\cdot{}h^{-1}=(g\cdot{}h)(g^{-1}\cdot{}h^{-1})=(g\cdot{}h)(g\cdot{}h)^{-1}=g\cdot{}h\cdot{}h^{-1}\cdot{}g^{-1}=g\cdot{}(h\cdot{}h^{-1})\cdot{}g^{-1}=g\cdot{}e\cdot{}g^{-1}=g\cdot{}g^{-1}=e [/mm] $
2) $ [mm] g\cdot{}h\cdot{}g^{-1}\cdot{}h^{-1}=(gh)^{1}\cdot{}(gh)^{-1}=gh^{1-1}=gh^{0}=e [/mm] $
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Hiho,
> Aber wieso sind meine 2 Versuche nicht in Ordnung?
Weil man so keine Äquivalenzaussage zeigt!
Fange an mit:
Sei G abelsch
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] ghg^{-1}h^{-1}=e [/mm] $
Und die Rückrichtung:
Es gelte $ [mm] ghg^{-1}h^{-1}=e [/mm] $
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] G abelsch
Und davon sehe ich nichts bei dir.
> ich zeige damit doch auch, dass es gilt.
>
> 1)
> [mm]g\cdot{}h\cdot{}g^{-1}\cdot{}h^{-1}=(g\cdot{}h)(g^{-1}\cdot{}h^{-1})=(g\cdot{}h)(g\cdot{}h)^{-1}=g\cdot{}h\cdot{}h^{-1}\cdot{}g^{-1}=g\cdot{}(h\cdot{}h^{-1})\cdot{}g^{-1}=g\cdot{}e\cdot{}g^{-1}=g\cdot{}g^{-1}=e[/mm]
Die Gleichungskette enthält Gleichungen, die im Allgemeinen schlichtweg falsch sind, bspw. das zweite Gleichheitszeichen.
Ohne Begründen weiß niemand, was du damit aussagen willst, wie wär es also mal mit Kommentaren zu den Gleichheitszeichen? Die Gleichungskette enthält vllt. die Idee des beweises, aber ohne Begründungen kann niemand damit was anfangen.
MFG,
Gono.
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