Beweis für fast-additive Abb. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Ich muss in Gemetrie folgende Aufgabe lösen:
p: [mm] \IZ [/mm] --> [mm] \IZ
[/mm]
p hat die Eigenschaften:
1. p(-n) = -p(n) für alle n [mm] \in \IZ
[/mm]
2. [mm] \exists D\in\IN, [/mm]
so dass [mm] \forall [/mm] n,m [mm] \in\IN [/mm] : |p(n+m)-p(n)-p(m)|<=D
Nun sollte ich das ganze für 4 Fälle beweisen.
1. Fall: m<0, n<0
|p(-n-m)-p(-n)-p(-m)=|-p(n+m)+p(n)+p(m)|
=|p(n+m)-(p(n)+p(m))|=|p(n+m)-p(n)-P(m)<=D
2. Fall: m=0 (analog dazu: n=0)
3. Fall: m>0, n<0, m>=n (analog dazu: n>0, m<0, n>=m)
4. Fall: m>0, n<0, m<n (analog dazu: n>0, m<0, n<m)
Wie beweise ich denn jetzt, dass p für Fall 2 - Fall 4 auch fast additiv ist??
Grüsse Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Do 01.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen
> Ich muss in Gemetrie folgende Aufgabe lösen:
> p: [mm]\IZ[/mm] --> [mm]\IZ[/mm]
> p hat die Eigenschaften:
> 1. p(-n) = -p(n) für alle n [mm]\in \IZ[/mm]
> 2. [mm]\exists D\in\IN,[/mm]
> so dass [mm]\forall[/mm] n,m [mm]\in\IN[/mm] : |p(n+m)-p(n)-p(m)|<=D
Und du willst das jetzt fuer alle $n, m [mm] \in \IZ$ [/mm] beweisen?
> Nun sollte ich das ganze für 4 Fälle beweisen.
>
> 1. Fall: m<0, n<0
> |p(-n-m)-p(-n)-p(-m)=|-p(n+m)+p(n)+p(m)|
> =|p(n+m)-(p(n)+p(m))|=|p(n+m)-p(n)-P(m)<=D
>
> 2. Fall: m=0 (analog dazu: n=0)
Da $p(0) = 0$ ist nach 1. ist dies trivial.
> 3. Fall: m>0, n<0, m>=n (analog dazu: n>0, m<0, n>=m)
>
> 4. Fall: m>0, n<0, m<n (analog dazu: n>0, m<0, n<m)
Es ist jeweils $|m| [mm] \ge [/mm] |n|$ bzw. $|m| < |n|$ gemeint, oder? Andernfalls kan fuer $m > 0$, $n < 0$ niemals $m < n$ gelten.
> Wie beweise ich denn jetzt, dass p für Fall 2 - Fall 4
> auch fast additiv ist??
Der Trick liegt hier darin, die obige Gleichung fuer [mm] $\IN$ [/mm] zu benutzen und dabei $n + m$ und (z.B.) $n$ zu vertauschen.
Mal etwas konkreter, nehmen wir uns den 4. Fall. Dann gilt $m > 0$, $n < 0$ und $m = |m| < |n| = -n$; insbesondere ist $-n > 0$ und $m + n < 0$.
Du hast also $p(n + m) - p(n) - p(m) = -p(-(n + m)) + p(-n) - p(m) = p(-n) - p(-(n + m)) - p(m)$. Setze $a := -(n + m) > 0$ und $b := m > 0$: dann gilt $a + b = -n > 0$, und nach Voraussetzung gilt $|p(a + b) - p(a) - p(b)| [mm] \le [/mm] D$. Setzt du jetzt $a$ und $b$ zurueck ein, erhaelst du $|p(n + m) - p(n) - p(m)| [mm] \le [/mm] D$.
LG Felix
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Hallo Felix
Wieso gilt insbesondere: -n>0???
Und wenn ich nun -n und m in die Gleichung für eine fast-additive Abbildung einsetze gibt das doch:
p(m-n)-p(m)-p(-n)=p(m-n)-p(m)+p(n)? Was muss ich jetzt da vertauschen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:47 Fr 02.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wieso gilt insbesondere: -n>0???
Weil $n < 0$ ist?
> Und wenn ich nun -n und m in die Gleichung für eine
> fast-additive Abbildung einsetze gibt das doch:
> p(m-n)-p(m)-p(-n)=p(m-n)-p(m)+p(n)? Was muss ich jetzt da
> vertauschen?
Na, du musst das nicht ganz stumpf einsetzen, sondern etwas geschickter. Ich hab's dir immerhin vorgerechnet, schau dir das doch mal an.
LG Felix
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