Beweis für injektive Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Sa 03.11.2007 | | Autor: | niandis |
| Aufgabe | Es sei f: A [mm] \rightarrow [/mm] B eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Beweisen sie:
(1) Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung g: B [mm] \rightarrow [/mm] A gibt mit g o f = [mm] id_A.
[/mm]
(2) Die Abbildung f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g: B [mm] \rightarrow [/mm] A gibt mit f o g = [mm] id_B. [/mm] |
Hallo,
ich soll oben angegebene Aufgabe lösen. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich den richtigen Lösungsweg habe.
Ich weiß, dass wenn f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y bijektiv ist dann ist [mm] f^{-1} [/mm] o f = [mm] id_x [/mm] und
f o [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] id_y. [/mm] Aber lässt sich dies einfach auf diese Aufgabe übertragen? Weil dann wäre f ja automatisch auch injektiv bzw surjektiv.
Einen anderen Lösungsansatz habe ich nicht gefunden.
Ich wäre euch für kleine Hilfestellungen sehr dankbar.
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei f: A [mm]\rightarrow[/mm] B eine Abbildung zwischen zwei
> Mengen. Beweisen sie:
> (1) Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn es
> eine Abbildung g: B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt mit g o f = [mm]id_A.[/mm]
> (2) Die Abbildung f ist genau dann surjektiv, wenn es
> eine Abbildung g: B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt mit f o g = [mm]id_B.[/mm]
> Hallo,
> ich soll oben angegebene Aufgabe lösen. Ich bin mir
> allerdings nicht sicher, ob ich den richtigen Lösungsweg
> habe.
> Ich weiß, dass wenn f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y bijektiv ist dann
> ist [mm]f^{-1}[/mm] o f = [mm]id_x[/mm] und
> f o [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]id_y.[/mm] Aber lässt sich dies einfach auf diese
> Aufgabe übertragen? Weil dann wäre f ja automatisch auch
> injektiv bzw surjektiv.
Hallo,
nein, mit der Umkehrfunktion von f kannst Du hier nicht arbeiten, denn die gibt es ja nur, wenn die Funktion bijektiv ist.
Hier ist aber lediglich injektivität vorausgesetzt, d.h. möglicherweise wird ein Element von B gar nicht von f "getroffen".
Prinzipiell solltest Du die Aufgabe in zwei Richtungen zerlegen, das wird sonst unübersichtlich:
A. f injektiv ==> es gibt eine Abbildung g: B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt mit g o f = [mm]id_A.[/mm]
Du kannst hier versuchen, so etwas ähnliches wie die Umkehrfunktion auf B zu definieren. Für die b [mm] \in [/mm] B, auf die kein Element abgebildet wird, mußt Du Dir dann etwas einfallen lassen.
B: es gibt eine Abbildung g: B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt mit g o f = [mm]id_A.[/mm] ==> f injektiv.
Dies Richtung ist sehr einfach. Starte mit [mm] f(a_1)=f(a_2) [/mm] und wende die Funktion g darauf an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 04.11.2007 | | Autor: | niandis |
Hallo,
danke erstmal für deine schnelle Antwort. Allerdings hab ich das noch ein paar Fragen dazu.
Erstmal habe ich nicht verstanden, warum ich beide Richtungen beweisen muss. Reicht es nicht wenn ich zeige:
es gibt eine Abbildung g: B $ [mm] \rightarrow [/mm] $ A mit g o f = $ [mm] id_A. [/mm] $ ==> f injektiv ?
Außerdem habe ich bei dem Beweiß dann nicht verstanden, wieso ich denn behaupten kann, dass [mm] f(a_1) [/mm] = [mm] f(a_2). [/mm] Und was bringt mir das?
liebe grüße
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> Erstmal habe ich nicht verstanden, warum ich beide
> Richtungen beweisen muss. Reicht es nicht wenn ich zeige:
> es gibt eine Abbildung g: B [mm]\rightarrow[/mm] A mit g o f =
> [mm]id_A.[/mm] ==> f injektiv ?
Nein.
In der Aufgabe steht, daß man zeigen soll:
"f ist genau dann injektiv, wenn ..."
"Genau dann" sagt einem, daß beide richtungen zu zeigen sind.
> Außerdem habe ich bei dem Beweiß dann nicht verstanden,
> wieso ich denn behaupten kann, dass [mm]f(a_1)[/mm] = [mm]f(a_2).[/mm]
Ich behaupte das nicht. Ich nehme es an, und schaue nach, was daraus folgt.
Wenn daraus folgt, daß [mm] a_1=a_2, [/mm] dann habe ich die Injektivität von f gezeigt.
Gruß v. Angela
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