Beweis für keine Explosion < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:29 Do 14.01.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Aufgabe
Die Zufallsgrößen $ [mm] \tau_n [/mm] $ und $ [mm] T_n [/mm] $ seinen wie im 0. Kapitel der Vorlesung definiert. Das Ereignis $ [mm] \left\{\displaystyle\sup_{n=0,1,\ldots}\tau_n<\infty\right\} [/mm] $ heißt Explosion (Warum?).
(a)
Es sei $ [mm] (\alpha_n)_{n=1,2,\ldots} [/mm] $ eine Folge positiver reeller Zahlen. Die Zeitspannen $ [mm] T_n [/mm] $ $ [mm] (n=1,2,\ldots) [/mm] $ zwischen zwei aufeinander folgenden Schäden seinen unabhängige Zufallsgrößen, die Exponentialverteilungen mit dem Parameter $ [mm] \alpha_n [/mm] $ genügen.
Man zeige: Wenn $ [mm] \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n}=+\infty [/mm] $ gilt, dann ist die Wahrscheinlichkeit einer Explosion Null.
(b)
Explodiert der Poissonprozess? |
Hallo,
wenn ich a) habe, ist b) kein Problem, doch ich habe leider keine Ahnung, wie ich a) beweisen kann.
Meine erste Idee war, die [mm] T_n [/mm] über ihre Erwartungswerte abzuschätzen. Dann wäre:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\tau_n=\sum_{n=1}^{\infty}E(T_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n}=+\infty
[/mm]
Nun wollte ich noch zeigen, dass [mm] \sum_{n=1}^{\infty}D^2(T_n)<+\infty [/mm] ist, um sicher zu stellen, dass meine Schwankungen klein genug sind, um mit Wahrscheinlichkeit 1 sagen zu können, das keine Explosion vorliegt. Leider hat dies nicht geklappt (man nehme z.B. [mm] \alpha_n=\wurzel{n}).
[/mm]
Hat jemand eine bessere Idee für mich? :)
Gruß
DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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