Beweis für (z*z1*z2+1)/z2... < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe | | Geben Sie einen Beweis der folgenden Aussage an: Seien [mm] z_1,...z_k [/mm] natuerliche Zahlen, die alle > 1 sind. dann wird [mm] z_1z_2..z_{k}+1 [/mm] von keinem der [mm] z_i [/mm] geteilt. |
hi, muss die aufgabe in ner uebung der uni lösen und hab nich so wirklich ne idee, wie ich weiterkomme.
wär toll wenn mir jmd helfen koennte.
hatte jetz erstma so angefangen, aber das bringt mich irgendwie auch nich weiter:
z,a,b [mm] \in [/mm] Z
[mm] z_i=\bruch{b_i}{a_i} \rightarrow z_i \nmid \bruch{b_1}{a_1}*\bruch{b_2}{a_2}..*\bruch{b_k}{a_k}+1 \rightarrow \bruch{b_i}{a_i} \nmid \bruch{b_1}{a_1}*\bruch{b_2}{a_2}..*\bruch{b_k}{a_k}+1 \rightarrow \bruch{(\bruch{b_1}{a_1}*\bruch{b_2}{a_2}..*\bruch{b_k}{a_k}+1)}{\bruch{b_i}{a_i}}=
[/mm]
der letzte bruch muesste ja wieder eine ganze Zahl Z ergeben, aber hab keine ahnung wie ich das aufschreiben soll und wie ich dann weiter machen sollte!?
und sind a,b [mm] \in [/mm] R oder [mm] \in [/mm] Z ?
wäre über hilfe echt dankbar >.<
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Geben Sie einen Beweis der folgenden Aussage an: Seien
> [mm]z_1,...z_k[/mm] natuerliche Zahlen, die alle > 1 sind. dann wird
> [mm]z_1z_2..z_{k+1}[/mm] von keinem der [mm]z_i[/mm] geteilt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Also so, wie die Aufgabe dasteht, ist das der totale Käse.
Es muß heißen "... wird [mm] z_1z_2..z_{k}+1 [/mm] von keinem der [mm] z_i [/mm] geteilt".
Wir nehmen mal an, daß [mm] z_1z_2..z_{k}+1 [/mm] von [mm] z_1 [/mm] geteilt wird.
Dann gibt es ein [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] z_1z_2..z_{k}+1=nz_1 [/mm] <==> [mm] 1=nz_1-z_1z_2..z_{k} [/mm] ==> ???
Kannst Du nun einen Widerspruch herausarbeiten?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
| Aufgabe | > Geben Sie einen Beweis der folgenden Aussage an: Seien
> [mm]z_1,...z_k[/mm] natuerliche Zahlen, die alle > 1 sind. dann wird
> [mm]z_1z_2..z_{k+1}[/mm] von keinem der [mm]z_i[/mm] geteilt. |
das mit dem [mm] z_{k}+1 [/mm] warn formatierungsfehler >.<
sorry
danke erstma fuer deinen ansatz:
Annahme [mm] z_1 [/mm] | [mm] z_1z_2..z_{k}+1 [/mm]
[mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] z_1z_2..z_{k}+1=nz_1 [/mm] <==> [mm] 1=nz_1-z_1z_2..z_{k} [/mm] <==> [mm] 1=z_1*(n-z_2...z_{k}) [/mm] ==> [mm] \bruch{1}{(n-z_2...z_{k})}=z_1 [/mm] f.A.
==> somit Annahme falsch und Behauptung wahr
da [mm] n,z_1,z_2,...,z_{k} \in \IZ [/mm] und [mm] \bruch{1}{x} \not\in \IZ (x\in [/mm] R), ist [mm] z_1\not\in [/mm] Z.
Dies wär für jedes der [mm] z_i [/mm] auf dem selben Weg beweisbar.
so würd ich das jetzt als lösung auf mein blatt schreiben.. ist es bei nem beweis zulässig in satzform zu antworten?
und ist der Antwortsatz nötig? - bzw. fehlt bei meinem beweis noch ein doppelpfeil um es genauer aufzuzeigen?
danke soweit =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Do 22.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Geben Sie einen Beweis der folgenden Aussage an: Seien
> > [mm]z_1,...z_k[/mm] natuerliche Zahlen, die alle > 1 sind. dann
> wird
> > [mm]z_1z_2..z_{k+1}[/mm] von keinem der [mm]z_i[/mm] geteilt.
> das mit dem [mm]z_{k}+1[/mm] warn formatierungsfehler >.<
> sorry
>
> danke erstma fuer deinen ansatz:
>
> Annahme [mm]z_1[/mm] | [mm]z_1z_2..z_{k}+1[/mm]
>
> [mm]n\in \IN[/mm] mit [mm]z_1z_2..z_{k}+1=nz_1[/mm] <==>
> [mm]1=nz_1-z_1z_2..z_{k}[/mm] <==> [mm]1=z_1*(n-z_2...z_{k})[/mm] ==>
> [mm]\bruch{1}{(n-z_2...z_{k})}=z_1[/mm] f.A.
Was soll das bedeuten ? ?
Ich machs Die mal vor:
Annahme: $ [mm] z_1 [/mm] $ | $ [mm] z_1z_2..z_{k}+1 [/mm] $. Dann gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit:
$ [mm] z_1z_2..z_{k}+1=nz_1 [/mm] $.
Somit ist
$ [mm] 1=nz_1-z_1z_2..z_{k} [/mm] $.
Jetzt mußt Du doch nur Deine Augen draufhalten: rechts steht die Differenz [mm] $nz_1-z_1z_2..z_{k} [/mm] $ in der [mm] nz_1 [/mm] durch [mm] z_1 [/mm] teilbar ist und in der [mm] z_1z_2..z_{k} [/mm] ebenfalls durch [mm] z_1 [/mm] teilbar ist. somit ist 1 teilbar durch [mm] z_1.
[/mm]
Das hat aber zur Folge , dass [mm] z_1 [/mm] = 1 sein muß, was aber der Vor. [mm] z_1 [/mm] > 1 widerspricht.
FRED
> ==> somit Annahme falsch und Behauptung wahr
>
> da [mm]n,z_1,z_2,...,z_{k} \in \IZ[/mm] und [mm]\bruch{1}{x} \not\in \IZ (x\in[/mm]
> R), ist [mm]z_1\not\in[/mm] Z.
> Dies wär für jedes der [mm]z_i[/mm] auf dem selben Weg
> beweisbar.
>
>
> so würd ich das jetzt als lösung auf mein blatt
> schreiben.. ist es bei nem beweis zulässig in satzform zu
> antworten?
> und ist der Antwortsatz nötig? - bzw. fehlt bei meinem
> beweis noch ein doppelpfeil um es genauer aufzuzeigen?
>
> danke soweit =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
aber wenn ich sage, dass [mm] \bruch{1}{(n-z_2...z_{k})} [/mm] niemals eine ganze zahl [mm] z_1 [/mm] ergeben kann, wie es in der vorraussetzung für [mm] z_1 [/mm] steht, wäre es doch auch bewiesen, dass die gesamte annahme falsch ist - und somit die behauptung richtig sein muss - oder bin ich da komplett aufm holzweg? :s
danke trotzdem !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
hatte den eintrag hierueber als antwort gespeichert und nicht als frage, kann das aber leider nich rueckgaengig machen.. :<
kann mir die frage oben noch jmd beantworten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 22.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du zeigen kannst, dass
$ [mm] \bruch{1}{(n-z_2...z_{k})} \notin \IN [/mm] $
ist, bist Du fertig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 22.10.2009 | | Autor: | den9ts |
könnte das wenn ueberhaupt nur in satzform beweisen, und zwar:
der nenner [mm] (n-z_2...z_{k}) [/mm] führt immer zu einer ganzen zahl z [mm] \in \IZ, [/mm] da nur im definitionsbereich [mm] \IN [/mm] operiert wird (siehe Voraussetzung).
allerdings führt [mm] \bruch{1}{z} [/mm] immer zu einer rationalen zahl q [mm] \in \IQ, [/mm] sodass q = [mm] z_1 [/mm] ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre [mm] (z_1 \in \IN)
[/mm]
kann man das auch noch mathematisch formulieren? und ist es nun zulässig in einem beweis in Satzform zu antworten?
gruß und danke nochmal 
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> und ist es
> nun zulässig in einem beweis in Satzform zu antworten?
Hallo,
in einem Beweis können und sollen auch Sätze vorkommen. Es ist ein Irrtum, zu denken, daß irgendwas "mathematischer" ist, nur weil da lauter Krakel und Zeichen vorkommen.
Allerdings müssen die Sätze, die man aneinanderreiht, eine logische Abfolge haben, und vor allem dürfen es nicht einfach irgendwelche Behauptungen sein, die aneinandergereiht werden. Alles, was man behauptet, muß begründet werden.
> der nenner [mm](n-z_2...z_{k})[/mm] führt immer zu einer ganzen
> zahl z [mm]\in \IZ,[/mm] da nur im definitionsbereich [mm]\IN[/mm] operiert
> wird (siehe Voraussetzung).
Ich würde das in Worten so formulieren:
Da n und die [mm] z_i [/mm] aus [mm] \IZ [/mm] sind, ist auch [mm] (n-z_2...z_{k})\in \IZ.
[/mm]
> allerdings führt [mm]\bruch{1}{z}[/mm] immer zu einer rationalen
> zahl q [mm][mm] \in \IQ,
[/mm]
Dir ist klar, daß 5, 13 und 4711 auch rationale Zahlen sind?
Du willst wohl eher sagen:
Für [mm] z\in \IZ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{z} [/mm] keine ganze Zahl.
(Warum eigentlich nicht?
Und wenn Du dies begründest, dann wirst Du sehen, daß der Weg, den Widerspruch aus $ [mm] 1=z_1(n-z_2..z_{k}) [/mm] $ abzulesen, viel netter ist, weil Du hier keinen Umweg über einen bruch gehen mußt.)
Gruß v. Angela
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