Beweis keine Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
(An) = [mm] (-1)^{n}+ \bruch{1}{n}
[/mm]
Konvergiert diese Folge? Gegen was konvergieren die Teilfolgen?
Und zweite Aufgabe: Bestimmen sie die Häufungspunkte der Folge
(xn) = [mm] \bruch{1}{(1+(-1)^{n}+ \bruch{1}{n})} [/mm] |
Also zur ersten Aufgabe:
Soweit klar, dass diese Folge nicht konvergent ist.
Beim Beweis, dass das keine Nullfolge ist (Also Definition verneint) kommt halt heraus, dass es keine ist.
So aber die beiden Teilfolgen für n gerade und n ungerade müssten ja konvergent sein:
für n gerade gegen 1
für n ungerade gegen -1
Und da hab ich noch irgendwie so meine Probleme:
Also:
für n gerade:
|an - a |
= | [mm] (-1)^{n}+ \bruch{1}{n} [/mm] - 1 |
= [mm] |(-1)|^n [/mm] + 1/n - 1
so jetzt ist ja betrag von -1 hoch n ja immer eins
= 1 + 1/n - 1 = 1/n
1/n < [mm] \varepsilon
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < n
Funktionniert??
für n ungerade:
|an - a |
= | [mm] (-1)^{n}+ \bruch{1}{n} [/mm] - (-1) |
= [mm] |(-1)|^n [/mm] + 1/n + 1
so jetzt ist ja betrag von -1 hoch n ja immer eins
= 1 + 1/n +1 = 2+ 1/n
2+ 1/n < [mm] \varepsilon
[/mm]
<=> [mm] \bruch{2n+1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Das wird dann doch so nicht funktionnieren.
Wo ist mein Denkfehler?????
Zur Zweiten Aufgabe:
Der Term [mm] (1+(-1)^{n} [/mm] springt ja zwischen 0 und 2 herum.
Der zweite strebt gegen Null
also ist der Häufungspunkt wohl 1/2,
da der Grenzwert gegen 1/2 geht.
Aber mir wurde auch gesagt, sie häuft sich bei [mm] +\infty [/mm] ??
Kann mir die Folge jemand vielleicht erklären??
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Hallo Nightwalker,
> Hallo,
>
> (An) = [mm](-1)^{n}+ \bruch{1}{n}[/mm]
> Konvergiert diese Folge?
> Gegen was konvergieren die Teilfolgen?
>
>
> Und zweite Aufgabe: Bestimmen sie die Häufungspunkte der
> Folge
>
> (xn) = [mm]\bruch{1}{(1+(-1)^{n}+ \bruch{1}{n})}[/mm]
> Also zur
> ersten Aufgabe:
>
>
> Soweit klar, dass diese Folge nicht konvergent ist.
> Beim Beweis, dass das keine Nullfolge ist (Also Definition
> verneint) kommt halt heraus, dass es keine ist.
Hmmm, nur weil es keine Nullfolge ist, heißt es doch noch lange nicht, dass die Folge nicht gegen was andere konvergiert, oder?
>
> So aber die beiden Teilfolgen für n gerade und n ungerade
> müssten ja konvergent sein:
Das müssen sie nicht, sind es aber 
>
> für n gerade gegen 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für n ungerade gegen -1
>
> Und da hab ich noch irgendwie so meine Probleme:
>
> Also:
>
> für n gerade:
> |an - a |
Schreibe besser [mm] $|a_{2n}-a|$, [/mm] um klarzumachen, dass du nur gerade Indizes betrachtest
> = | [mm](-1)^{n}+ \bruch{1}{n}[/mm] - 1 |
Für gerades k, sagen wir k=2n ist [mm] $(-1^)^k=(-1)^{2n}=1$
[/mm]
Also [mm] $\left|(-1)^{2n}+\frac{1}{n}-1\right|=\left|1+\frac{1}{n}-1\right|=\frac{1}{n}$
[/mm]
Und [mm] $\frac{1}{n}<\varepsilon\gdw n>\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Wie kannst du nun dein [mm] $n_0$ [/mm] wählen ??
> = [mm]|(-1)|^n[/mm] + 1/n - 1
Den Betrag darfst du so nicht auflösen! Es gilt nicht Gleichheit, allenfalls die Dreiecksungleichung!
> so jetzt ist ja betrag von -1 hoch n ja immer eins
>
> = 1 + 1/n - 1 = 1/n
Aha! Das benutze bevor du den Betrag killst ...
>
> 1/n < [mm]\varepsilon[/mm]
> <=> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] < n
>
> Funktionniert??
Ja, gut, nun das [mm] $n_0$ [/mm] angeben, das ist ja nur eine Schmie- bzw. Nebenrechnung
>
>
> für n ungerade:
>
> |an - a |
Auch hier deutlicher [mm] $|a_{2n+1}-a|$
[/mm]
Und mit [mm] $(-1)^{2n+1}=-1$ [/mm] wie oben weiter ...
> = | [mm](-1)^{n}+ \bruch{1}{n}[/mm] - (-1) |
> = [mm]|(-1)|^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+ 1/n + 1
Uii, das klappt so wieder nicht!
> so jetzt ist ja betrag von -1 hoch n ja immer eins
Schon, aber für ungerades k=2n+1 ist (-1)^k=(-1)^{2n+1}=-1$
Das benutze und löse dann den Betrag auf:
$\left|(-1)^{2n+1}+\frac{1}{n}+1\right|=\left|-1+\frac{1}{n}+1}\right|=\frac{1}{n}$ ...
Siehst du, schreibe der Deutlichkeit halber für die geraden 2n und die ungeraden 2n+1 ..
>
> = 1 + 1/n +1 = 2+ 1/n
>
> 2+ 1/n < [mm]\varepsilon[/mm]
> <=> [mm]\bruch{2n+1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Das wird dann doch so nicht funktionnieren.
> Wo ist mein Denkfehler?????
siehe oben ... es läuft wieder auf [mm] $\frac{1}{n}<\varepsilon$ [/mm] heraus ...
>
>
>
>
> Zur Zweiten Aufgabe:
>
> Der Term [mm](1+(-1)^{n}[/mm] springt ja zwischen 0 und 2 herum.
> Der zweite strebt gegen Null
>
> also ist der Häufungspunkt wohl 1/2,
> da der Grenzwert gegen 1/2 geht.
hmmm, bitte genauer, du kannst bei einer Folge mit 2 Häufungspunkten nicht von dem Grenzwert reden, ein GW ist immer eindeutig.
Du meinst, der GW der "geraden" Teilfolge [mm] $(x_{2n})_{n\in\IN}$
[/mm]
>
> Aber mir wurde auch gesagt, sie häuft sich bei [mm]+\infty[/mm]
> ??
>
> Kann mir die Folge jemand vielleicht erklären??
Na, du hast doch selber gesagt, dass die Nennerfolge die beiden Haäfungswerte 2 (für gerades n) und 0 (für ungerades n) hat.
Damit strebt [mm] $x_{2n}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und
[mm] $x_{2n+1}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Vielen Dank,
für die schnelle und ausführliche Lösung.
Müsste jetzt alles soweit klar sein.
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank,
> für die schnelle und ausführliche Lösung.
>
> Müsste jetzt alles soweit klar sein.
Vllt. noch ne kleine Anmerkung zu meiner anderen Antwort bzgl. (ii):
Da [mm] $\infty$ [/mm] keine Zahl ist, kann man eigentlich nicht von Häufungswert oder -punkt sprechen.
Ich hätte vielmehr sagen sollen, dass die Teilfolge [mm] $(x_{2n+1})$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] (bestimmt) divergiert.
Jedenfalls hat [mm] $(x_n)$ [/mm] keinen GW
Gruß
schachuzipus
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