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Beweis kommutativer Monoide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Sa 12.11.2011
Autor: Zero-Zero

Aufgabe
Für alle a,b [mm] \in \IQ [/mm] setzen wir [mm] a\Delta [/mm] b:= ab+a+b

(a) Zeigen Sie, dass [mm] (\IZ, \Delta) [/mm] ein kommutatives Monoid ist und bestimmen Sie alle bezüglich [mm] \Delta [/mm] invertierbaren Elemente von [mm] \IZ. [/mm]

(b) Zeigen Sie, dass [mm] (\IQ [/mm] \ {1}, [mm] \Delta) [/mm] eine abelsche Gruppe ist

HINWEIS: Man zeige zunächst, dass auch [mm] (\IQ, \Delta) [/mm] kommutatives Monoid ist. Hierzu ist vielleicht die Beziehung a [mm] \Delta [/mm] b = (a+1)(b+1) -1 hilfreich.

Da ich zunächst zeigen soll, dass auch [mm] (\IQ, \Delta) [/mm] ein kommutatives Monoid ist, habe ich zuerst die Assoziativität folgendermaßen bewiesen:

a [mm] \Delta [/mm] b = (a+1)(b+1)-1 = ab+a+b+1-1= ab+a+b [mm] \to [/mm] (ab+a)+b = ab+(a+b) [mm] \Box [/mm]

Und die Kommutativität so:
ab+a+b = ab+b+a = b+a+ab = b+ab+a = a+ab+b = a+b+ab [mm] \Box [/mm]

Was mir jetzt Probleme macht, ist nachzuweisen, was hier das neutrale Element e ist. Oder gibt es hier zwei neutrale Elemente?

Die zweite Frage habe ich zu den invertierbaren Elementen. Ich weiß, dass a^*x a = e ist. Wie gehe ich hier den formalen Beweis an?

Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Beweis kommutativer Monoide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Sa 12.11.2011
Autor: mathfunnel

Hallo Zero-Zero!

> Für alle a,b [mm]\in \IQ[/mm] setzen wir [mm]a\Delta[/mm] b:= ab+a+b
>  
> (a) Zeigen Sie, dass [mm](\IZ, \Delta)[/mm] ein kommutatives Monoid
> ist und bestimmen Sie alle bezüglich [mm]\Delta[/mm] invertierbaren
> Elemente von [mm]\IZ.[/mm]
>  
> (b) Zeigen Sie, dass [mm](\IQ[/mm] \ {1}, [mm]\Delta)[/mm] eine abelsche
> Gruppe ist

Schreibfehler!!!

>  
> HINWEIS: Man zeige zunächst, dass auch [mm](\IQ, \Delta)[/mm]
> kommutatives Monoid ist. Hierzu ist vielleicht die
> Beziehung a [mm]\Delta[/mm] b = (a+1)(b+1) -1 hilfreich.
>  Da ich zunächst zeigen soll, dass auch [mm](\IQ, \Delta)[/mm] ein
> kommutatives Monoid ist, habe ich zuerst die
> Assoziativität folgendermaßen bewiesen:
>
> a [mm]\Delta[/mm] b = (a+1)(b+1)-1 = ab+a+b+1-1= ab+a+b [mm]\to[/mm] (ab+a)+b
> = ab+(a+b) [mm]\Box[/mm]

?

>
> Und die Kommutativität so:
>  ab+a+b = ab+b+a = b+a+ab = b+ab+a = a+ab+b = a+b+ab [mm]\Box[/mm]

?
Für die Kommutativität von $ [mm] (\mathbb [/mm] Q, [mm] \Delta) [/mm] $ muss $a [mm] \Delta [/mm]  b = b [mm] \Delta [/mm]  a$ für alle $a,b [mm] \in \mathbb [/mm] Q$ gezeigt werden.

Für die Assoziativität musst Du nachweisen, dass $(a [mm] \Delta b)\Delta [/mm] c = a [mm] \Delta (b\Delta [/mm] c)$  für alle $a,b,c [mm] \in \mathbb [/mm] Q$ ist.
Mit dem Hinweis, der Kommutativität von [mm] $\Delta$ [/mm] und der Symmetrie des resultierenden Ausdrucks ist das wahrscheinlich leichter einzusehen, als beide Ausdrücke auszuschreiben und zu vergleichen.

>  
> Was mir jetzt Probleme macht, ist nachzuweisen, was hier
> das neutrale Element e ist.

Jemand mit deinem Namen sollte es herausfinden!

> Oder gibt es hier zwei neutrale
> Elemente?

Gibt es zwei? ($e'e = e = e'$)

Das eine neutrale Element $e$ erhält man durch Lösen der Gleichung $e [mm] \Delta [/mm] a = ea+e+a =a $.

>
> Die zweite Frage habe ich zu den invertierbaren Elementen.
> Ich weiß, dass a^*x a = e ist. Wie gehe ich hier den
> formalen Beweis an?

Für ein inverses Element $a'$ zu $a$ gilt: [mm] $a'\Delta [/mm] a = a'a +a' +a= e$.  Einfach nach $a'$ auflösen. Welche inversen Elemente liegen in [mm] $\mathbb [/mm] Z$?

>
> Vielen Dank für eure Hilfe!

LG mathfunnel


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