Beweis mit Abbildungen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Nagel |
| Aufgabe | Seien f: A -> B eine Abbildung und f*: P(A) -> P(B), f**: P(B) -> P(A) die von f induzierten Abbildungen gegeben durch f*(A') = f(A') für A' [mm] \subseteq [/mm] A bzw. [mm] f**(B')=f^{-1} [/mm] (B') [mm] \subseteq [/mm] B. Zeige:
1. Äquivalent sind: (a) f ist injektiv, (b) f* ist injektiv, (c) f** ist surjektiv.
2. Äquivalent sind: (a) f ist surjektiv, (b) f* ist surjektiv, (c) f** ist injektiv.
3. Ist f bijektiv, so sind f* und f** zueinander inverse Abbildungen. |
Ich studiere Informatik und habe nicht vor Mathematik zu studieren!
Ich muss leider die Vorlesung Lineare Algebra hören.
Mit einer Musterlösung zu dieser Aufgabe wäre mir sehr geholfen, sodass ich die allgemeinen Beweisverfahren auch besser verstehen kann.
Vielen Dank im vorraus.
Der wichtige "Satz": Ich habe diese Frage in bisher in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Fr 31.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Meine subjektive Meinung: Diese Aufgabe ist zu aufwendig, als dass sie dir jemand einfach so, nur damit du "die Lösung mal gesehen" hast, vorrechnet...
Ich finde deine Einstellung auch ziemlich fragwürdig. Wenn das deine Hausaufgaben sind, dann solltest du dich auch damit beschäftigen, ganz egal ob du der Meinung bist, dass du als Informatiker Mathe "eh nicht brauchst". Es gibt sicher gute Gründe warum du Lineare Algebra hören musst. Früher oder später wirst du dich auch in Info mit abstrakten Dingen beschäftigen müssen, also denk mal drüber nach.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f: A -> B eine Abbildung und f*: P(A) -> P(B), f**:
> P(B) -> P(A) die von f induzierten Abbildungen gegeben
> durch f*(A') = f(A') für A' [mm]\subseteq[/mm] A bzw. [mm]f**(B')=f^{-1}[/mm]
> (B') [mm]\subseteq[/mm] B. Zeige:
> 1. Äquivalent sind: (a) f ist injektiv, (b) f* ist
> injektiv, (c) f** ist surjektiv.
> 2. Äquivalent sind: (a) f ist surjektiv, (b) f* ist
> surjektiv, (c) f** ist injektiv.
> 3. Ist f bijektiv, so sind f* und f** zueinander inverse
> Abbildungen.
> Ich studiere Informatik und habe nicht vor Mathematik zu
> studieren!
> Ich muss leider die Vorlesung Lineare Algebra hören.
> Mit einer Musterlösung zu dieser Aufgabe wäre mir sehr
> geholfen, sodass ich die allgemeinen Beweisverfahren auch
> besser verstehen kann.
ich sehe leider keinen Sinn darin, dass wir Dir hier eine Musterlösung liefern. Ehrlich gesagt finde ich auch, dass Du versuchst, eine Entschuldigung zu liefern, warum Du eine Musterlösung willst. Es hat schon seinen Sinn, dass Du als Informatikstudent auch die Grundprinzipien der Mathematik verstehst. Und auch, wenn Du da anderer Meinung bist, warst Du Dir im Klaren, was auf Dich zukommt, als Du Dich eingeschrieben hast und musst es dann nun einfach akzeptieren.
Jetzt erstmal ein paar grundlegende Dinge zur Aufgabe:
Du hast oben bei 1. zu zeigen, dass (a) [mm] $\gdw$ [/mm] (b) [mm] $\gdw$ [/mm] (c). Jetzt kannst Du das natürlich alles so nach und nach machen:
1.) (a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b):
Zeige also, wenn $f$ injektiv ist, dann ist auch f* injektiv.
2.) (b) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (a):
Zeige also: Wenn f* injektiv ist, dann ist auch $f$ injektiv.
(Bemerkung: 1.) und 2.) zusammen liefern Dir dann (a) [mm] $\gdw$ [/mm] (b).)
usw. usf.
Dann hättest Du insgesamt $6$ Beweisschritte. Es geht aber auch kürzer (Ringschluss):
Zeige:
I) (a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b)
II) (b) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (c)
III) (c) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (a)
Dies ist hinreichend zu zeigen. Denn z.B.:
Eigentlich denkt man, dass hier z.B. (c) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b) fehlen könnte. Dem ist aber nicht so:
Wenn I) und III) bewiesen worden ist, dann ist damit auch (c) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b) bewiesen:
(c) [mm] $\underset{\text{III)}}{\Rightarrow}$ [/mm] (a) [mm] $\underset{\text{I)}}{\Rightarrow}$ [/mm] (b).
So, und damit Du nicht ganz im Dunklen stehengelassen wirst, führe ich Dir auch gerne mal den Beweisteil (a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b) vor:
Es gelte (a). $f$ ist also eine injektive Abbildung. Wir müssen nun zeigen, dass dann auch f* injektiv ist.
Seien also [mm] $A_1, A_2 \in \mathcal{P}(A)$ [/mm] mit [mm] $A_1 \not= A_2$, [/mm] also [mm] $A_1, A_2 \subseteq [/mm] A$ mit [mm] $A_1 \not=A_2\,.$ [/mm] Wegen [mm] $A_1 \not=A_2$ [/mm] ist (mindestens) eine der Mengen [mm] $R:=A_1 \setminus A_2$, $T:=A_2 \setminus A_1$ [/mm] nicht leer. Ist $R [mm] \not=\emptyset$, [/mm] so existiert ein $a [mm] \in A_1$ [/mm] mit $a [mm] \notin A_2$. [/mm] Dann ist aber $f(a) [mm] \in (f(A_1) \setminus f(A_2))$ [/mm] wegen der Injektivität von $f$. Also ist [mm] $(f(A_1) \setminus f(A_2)) \not=\emptyset\,.$ [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $f(A_1) \not=f(A_2)$ [/mm] und damit [mm] f*$(A_1)\not=$f*$(A_2)\,.$
[/mm]
Ist $T [mm] \not= \emptyset$, [/mm] so geht die Argumentation analog mit Rollentausch von [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] und auch dann erkennt man:
[mm] f*$(A_1)\not=$f*$(A_2)\,.$
[/mm]
Also ist f* injektiv. Damit ist (a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b) bewiesen. [mm] $\blacksquare$
[/mm]
So, und nun versuche Dich mal an dem Rest der Aufgabe.
Gruß,
Marcel
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