Beweis mit Hilfe d. Nullteiler < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: In einem Körper sind 1 und -1 die einzigen Lösungen der Gleichung [mm] x^2=1. [/mm] (Formen Sie die Gleichung so um, dass die Nullteilerfreiheit benutzt werden kann.) |
Ich habe jeweils die Behauptung aufgestellt, dass x=1 und x= -1 ist und den Beweis aufgeschrieben.
Aber wie soll ich beweisen, dass dies die "einzigen" Lösungen sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie: In einem Körper sind 1 und -1 die einzigen
> Lösungen der Gleichung [mm]x^2=1.[/mm] (Formen Sie die Gleichung so
> um, dass die Nullteilerfreiheit benutzt werden kann.)
> Ich habe jeweils die Behauptung aufgestellt, dass x=1 und
> x= -1 ist und den Beweis aufgeschrieben.
>
> Aber wie soll ich beweisen, dass dies die "einzigen"
> Lösungen sind?
>
Du betrachtest eine beliebige Lösung x und zeigst, dass dann [mm] x=\pm [/mm] 1 gelten muss.
[mm] x^2=1\Leftrightarrow x^2-1=0\Leftrightarrow [/mm] (x+1)*(x-1)=0 und dann kommt die Nullteilerfreiheit ins Spiel...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Zelda |
[mm] x^{2}=1 [/mm] /-1
[mm] x^{2}-1=0 \gdw [/mm] binomische Formel (x+1)(x-1)=0
K ist nullteilerfrei
Behauptung 1: x=1
einsetzen in (x+1)(x-1)=0 [mm] \gdw
[/mm]
(1+1)(1-1)=0 [mm] \gdw [/mm] Def. Multiplikation 0=0,
so ist 1 eine Lösung für x [mm] \in [/mm] K
usw. für -1...
ok. Aber das mit den "einzigen" Lösungen, da fehlt mir seit Tagen der richtige Ansatz
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> [mm]x^{2}=1[/mm] /-1
> [mm]x^{2}-1=0 \gdw[/mm] binomische Formel (x+1)(x-1)=0
> K ist nullteilerfrei
> Behauptung 1: x=1
> einsetzen in (x+1)(x-1)=0 [mm]\gdw[/mm]
> (1+1)(1-1)=0 [mm]\gdw[/mm] Def. Multiplikation 0=0,
> so ist 1 eine Lösung für x [mm]\in[/mm] K
>
> usw. für -1...
>
> ok. Aber das mit den "einzigen" Lösungen, da fehlt mir
> seit Tagen der richtige Ansatz
Es steht doch alles da:
Sei [mm] x\in\IK [/mm] eine beliebige Lösung der Gleichung [mm] x^2=1. [/mm] Dann gilt
[mm] x^2=1 [/mm] <=> (x+1)*(x-1) = 0
Da [mm] \IK [/mm] Nullteilerfrei ist folgt x+1=0 oder x-1=0, also x=-1 oder x=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Zelda |
Schande über mein Haupt-jetzt blick ich diesbezüglich endlich durch.Danke!
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