Beweis mit Körperaxiomen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:27 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
| Aufgabe | Im folgenden sei K = Z die Menge der ganzen Zahlen. Für a, b ∈ K
de nieren wir folgende zwei Operationen:
a ⨁ b := a + b und a ⊙ b := 1:
(Hier bezeichnen wir mit '+' und '1' die übliche Addition auf Z und
die übliche Eins in Z.) Welche der Körperaxiome gelten für K mit
den Operationen ⨁ und ⊙ ? Begründen Sie Ihre Antworten. (Sie
dürfen dabei verwenden, dass die übliche Addition und Multiplikation
auf Z alle Axiome bis auf (M4) erfüllen.) |
Könnt ihr mir hier helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Hi, vielleicht erstmal ein paar eigene Ansätze?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
Das ist ja grade das Problem. Ich hab gar keine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Sind Dir die Körperaxiome bekannt ?
Ich denke schon. Dann rechne nach welche gelten und welche nicht
Beispiel: Gilt
a ⊙ ( b ⨁ c)= a ⊙b ⨁ a ⊙ c ??
Nein, es gilt nicht. Warum ? Rechts steht 2 und links steht 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
Ok. Dann komme ich zu Folgendem:
A1 (Assoziativgesetz): (a⨁b)⨁c = a⨁(b⨁c) <=> (a+b)+c=a+(b+c) --> gilt also
A2 (Kommutativgesetz): a⨁b=b⨁a <=> a+b=b+a --> gilt also
A3 (Existenz der Null): a⨁0=a <=> a+0=a --> gilt also
A4 (Existenz des Inversen): a⨁(-a)=0 <=> a+(-a)=0 --> gilt also
M1 (Assoziativgesetz): (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c) <=> 1⊙c=a⊙1 <=> 1=1 --> gilt also
M2 (Kommutativgesetz): a⊙b=b⊙a <=> 1=1 --> gilt also
M3 (Existenz der Eins): a⊙1=a <=> 1=a --> gilt nicht?
M4 (Exitenz des Inversen): a⊙a^(-1)=0 <=> 1=0 --> gilt nicht?
Ist das so richtig? Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ok. Dann komme ich zu Folgendem:
>
> A1 (Assoziativgesetz): (a⨁b)⨁c = a⨁(b⨁c) <=>
> (a+b)+c=a+(b+c) --> gilt also
> A2 (Kommutativgesetz): a⨁b=b⨁a <=> a+b=b+a --> gilt
> also
> A3 (Existenz der Null): a⨁0=a <=> a+0=a --> gilt also
Das ist nicht gut formuliert. Da müßte irgendwie explizit stehen, was denn nun die Null in dieser Verknüpfung ist und warum sie es ist.
> A4 (Existenz des Inversen): a⨁(-a)=0 <=> a+(-a)=0 -->
> gilt also
s. A3
> M1 (Assoziativgesetz): (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c) <=>
> 1⊙c=a⊙1 <=> 1=1 --> gilt also
>
> M2 (Kommutativgesetz): a⊙b=b⊙a <=> 1=1 --> gilt also
>
> M3 (Existenz der Eins): a⊙1=a <=> 1=a --> gilt nicht?
Wenn man zeigen will, daß etwas nicht allgemein gilt, muß aus logischen Gründen ein Gegenbeispiel her.
> M4 (Exitenz des Inversen): a⊙a^(-1)=0 <=> 1=0 --> gilt
> nicht?
Es müßte geprüft werden, ob es zu jedem a ein a' mit a⊙a' = neutrales El. der ⊙-Verknüpfung gibt. Leider gibt es dieses neutrale Element nicht.
M4 kann man überhaupt nur prüfen, wenn M3 gilt.
Es gibt auch Distributivgesetze!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
> Das ist nicht gut formuliert. Da müßte irgendwie explizit
> stehen, was denn nun die Null in dieser Verknüpfung ist
> und warum sie es ist.
Wie könnte ich das denn machen? So: Es gibt ein Element N für das gilt: a⨁N=a . Dieses Element ist die 0 aus Z. Wäre das eine Möglichkeit oder geht es anders?
> s. A3
Hier würde ich schreiben: Es gibt zu jedem Element X aus K ein Element Y aus K, sodass gilt: X⨁Y=N <=> x+y=0.
> > M3 (Existenz der Eins): a⊙1=a <=> 1=a --> gilt nicht?
>
> Wenn man zeigen will, daß etwas nicht allgemein gilt, muß
> aus logischen Gründen ein Gegenbeispiel her.
Ein Beispiel wäre doch: a,b aus K mit z. B. a=5. Dann ist 5⊙1=1 und nicht 5⊙1=5. Das Axiom gilt also nicht.
>
> > M4 (Exitenz des Inversen): a⊙a^(-1)=0 <=> 1=0 --> gilt
> > nicht?
>
> Es müßte geprüft werden, ob es zu jedem a ein a' mit
> a⊙a' = neutrales El. der ⊙-Verknüpfung gibt. Leider
> gibt es dieses neutrale Element nicht.
>
> M4 kann man überhaupt nur prüfen, wenn M3 gilt.
Wie mach ich das jetzt? Da weiß ich nicht weiter. Bitte hilf mir.
> Es gibt auch Distributivgesetze!
Das hat Fred ja schon aufgeschrieben. Das würde ich dann genau so machen:
> Sind Dir die Körperaxiome bekannt ?
>
> Ich denke schon. Dann rechne nach welche gelten und welche
> nicht
>
> Beispiel: Gilt
>
>
> a ⊙ ( b ⨁ c)= a ⊙b ⨁ a ⊙ c ??
>
> Nein, es gilt nicht. Warum ? Rechts steht 2 und links
> steht 1
>
> FRED
lg, hansmuff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
> > Das ist nicht gut formuliert. Da müßte irgendwie explizit
> > stehen, was denn nun die Null in dieser Verknüpfung ist
> > und warum sie es ist.
>
> Wie könnte ich das denn machen? So: Es gibt ein Element N
> für das gilt: a⨁N=a . Dieses Element ist die 0 aus Z.
... weil nämlich .... gilt.
> Wäre das eine Möglichkeit oder geht es anders?
>
>
> > s. A3
>
> Hier würde ich schreiben: Es gibt zu jedem Element X aus K
> ein Element Y aus K, sodass gilt: X⨁Y=N <=> x+y=0.
Ich wähle Y = -X und siehe da, das tut es: vorrechnen.
> > > M3 (Existenz der Eins): a⊙1=a <=> 1=a --> gilt
> nicht?
> >
> > Wenn man zeigen will, daß etwas nicht allgemein gilt, muß
> > aus logischen Gründen ein Gegenbeispiel her.
>
> Ein Beispiel wäre doch: a,b aus K mit z. B. a=5. Dann ist
> 5⊙1=1 und nicht 5⊙1=5. Das Axiom gilt also nicht.
a=5 ist gut. Jetzt ist die Gl. 5⊙E = 5 zu lösen. Geht nicht.
> > > M4 (Exitenz des Inversen): a⊙a^(-1)=0 <=> 1=0 --> gilt
> > > nicht?
> >
> > Es müßte geprüft werden, ob es zu jedem a ein a' mit
> > a⊙a' = neutrales El. der ⊙-Verknüpfung gibt. Leider
> > gibt es dieses neutrale Element nicht.
> >
> > M4 kann man überhaupt nur prüfen, wenn M3 gilt.
>
> Wie mach ich das jetzt? Da weiß ich nicht weiter. Bitte
> hilf mir.
Du schreibst hin: Das kann man nicht nachweisen, weil die Voraussetzung nicht erfüllt ist.
> > Es gibt auch Distributivgesetze!
>
> Das hat Fred ja schon aufgeschrieben. Das würde ich dann
> genau so machen:
> > Sind Dir die Körperaxiome bekannt ?
> >
> > Ich denke schon. Dann rechne nach welche gelten und welche
> > nicht
> >
> > Beispiel: Gilt
> >
> >
> > a ⊙ ( b ⨁ c)= a ⊙b ⨁ a ⊙ c ??
> >
> > Nein, es gilt nicht. Warum ? Rechts steht 2 und links
> > steht 1
> >
> > FRED
>
> lg, hansmuff
>
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | hansmuff |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mi 20.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Im folgenden sei K = Z die Menge der ganzen Zahlen. Für a,
> b ∈ K
> de nieren wir folgende zwei Operationen:
> a ⨁ b := a + b und a ⊙ b := 1:
> (Hier bezeichnen wir mit '+' und '1' die übliche Addition
> auf Z und
> die übliche Eins in Z.) Welche der Körperaxiome gelten
> für K mit
> den Operationen ⨁ und ⊙ ? Begründen Sie Ihre
> Antworten. (Sie
> dürfen dabei verwenden, dass die übliche Addition und
> Multiplikation
> auf Z alle Axiome bis auf (M4) erfüllen.)
>
> Könnt ihr mir hier helfen?
Helfen schon aber nicht nur lösen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Sei [mm](\IZ,\oplus,\odot)[/mm] ein Körper. Dann muss u.a. gelten
[mm] $(\IZ,\oplus)$ [/mm] ist abelsche Gruppe
Diese Eigenschaft wurde bestimmt schon in der Vorlesung behandelt. Das könntest du dann einfach abschreiben.
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