Beweis mit Mittelwertsatz < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:49 Di 15.06.2004 | | Autor: | me4711 |
Hallo
ich babe folgende Frage. Wir sollen mit dem Mittelwertsatz beweisen das die Funktion [mm] x^6+ax+b=0 [/mm] zwei relle Lössungen hat. Wenn a,b rell sind.
mfg
me
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hier nun der Beweis zu der Aufgabe:
Sei [mm] $f(x)=x^6+ax+b$.
[/mm]
Behauptung:
$f$ hat (höchstens) 2 Nullstellen.
Beweis:
Zunächst gilt:
[mm] $f'(x)=6x^5+a$ [/mm] (man beachte auch: $f$ ist diff'bar auf [mm] $\IR$), [/mm] woraus unmittelbar folgt:
(I) $f'$ hat genau eine Nullstelle (ich nenne sie mal [mm] $x_{f'}$). [/mm]
(denn: [mm] $6x_{f'}^5+a=0 \gdw x_{f'}=\wurzel[5]{\frac{-a}{6}}$, [/mm] und weil wir die 5e-Wurzel ziehen, existiert dieses [mm] $x_{f'}$ [/mm] stets, da $a [mm] \in \IR$!)
[/mm]
Sei $n$ die Anzahl von [mm] $NST(f):=\{x: x$ ist Nullstelle von $f\}$, [/mm] d.h. [m]n:=|NST(f)|[/m].
Annahme: $n [mm] \ge [/mm] 3$. Dann wählen wir [m]x_1 \in NST(f), x_2 \in NST(f)[/m] und [m]x_3 \in NST(f)[/m] mit [mm] $x_1 \not=x_2$, $x_1 \not=x_3$ [/mm] und [m]x_2 \not=x_3[/m]. Ohne Einschränkung können wir (*) [m]x_1 < x_2 < x_3[/m] annehmen.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es dann [m]y_1[/m], [m]y_2[/m] mit [m]y_1 \in (x_1, x_2)[/m] und [m]y_2 \in (x_2, x_3)[/m]mit [mm] $f'(y_1)=f'(y_2)=0$ [/mm]
(denn: Nach dem Mittelwertsatz gibt es [mm] $y_1 \in (x_1,x_2)$ [/mm] mit
[mm] $f'(y_1)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{0-0}{x_2-x_1}=0$ [/mm] (beachte: [mm] $x_1 \not= x_2$), [/mm] analog für [m]y_2[/m]).
Weil [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $(x_2,x_3)$ [/mm] disjunkte (und wegen (*) auch nichtleere) Intervalle sind, gilt dann auch [m]y_1 \not= y_2[/m].
Also hätte $f'$ mindestens zwei Nullstellen, im Widerspruch zu (I).
Folglich muss gelten:
$0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 2$, d.h.:
[mm] $f:\IR \rightarrow \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x)=x^6+ax^5+b$ [/mm] hat höchstens zwei Nullstellen.
Ende des Beweises 
Die Aussage, dass $f$ zwei Nullstellen hat, müßte man korrekt also so formulieren:
$f$ hat höchstens zwei Nullstellen.
(Deswegen habe ich das 'höchstens' in Klammern ergänzt!)
Denn:
1.) Für $a=b=0 [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $f(x)=x^6$, [/mm] und hat damit genau eine Nullstelle (nämlich $x=0$)!
2.) Für $a=0 [mm] \in \IR$ [/mm] und $b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $b > 0$ gilt [mm] $f(x)=x^6+b [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Also hat $f$ in diesem Fall keine Nullstelle.
Wie im Beweis gesehen, hat $f$ maximal zwei Nullstellen, jedoch im Allgemeinen nicht genau zwei Nullstellen (wegen 1.) bzw. 2.)).
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Di 15.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo me4711
würdest du bitte in dem angegebenen Link auf das Crossposting aufmerksam machen?? Schreibe dort bitte, dass die Aufgabe im Matheraum gelöst wird und setze dabei den Link auf diesen Diskussionsstrang!
Wir und auch jene Helfer in Onlinemathe wollen sicher keine Zeit vergeuden!
![[]](/images/popup.gif) http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001283&read=1&kat=Studium
Vorher wird sich in diesem Forum sicherlich niemand deiner Frage annehmen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Di 15.06.2004 | | Autor: | me4711 |
Hallo
nach den Hinweisen möchte ich darum bitte die Frage unter onlinemathe
zu beantworten.
mfg
me
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Di 15.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo me
> nach den Hinweisen möchte ich darum bitte die Frage unter
> onlinemathe
>
>
> zu beantworten.
ich verstehe diesen Satz doch richtig, dass du nicht mehr Mitglied des MatheRaum sein willst, oder?
Viele grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 15.06.2004 | | Autor: | me4711 |
Hallo
nach den Hinweisen wollte nur nochmal ausdrücklich auf das Crossposting hinweisen. Außerdem möchte ich keine Diskusion über Crossposting führen sondern lieber über mein Mathe-Problem. Was Crossposting ist und warum ich es nicht machen soll weis ist jetzt genau.
mfg
me
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Di 15.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo me4711,
> Hallo
> nach den Hinweisen wollte nur nochmal ausdrücklich auf das
> Crossposting hinweisen. Außerdem möchte ich keine Diskusion
> über Crossposting führen sondern lieber über mein
> Mathe-Problem.
Dann hättest du die Regeln vorher lesen und dann auch befolgen sollen!
Das Problem, dass deine Aufgabe nicht bearbeitet wird/wurde, hast du dir alleine zuzuschreiben! Tut mir leid, wenn ich so direkt bin, aber so sehe ich das nun mal!
> Was Crossposting ist und warum ich es nicht
> machen soll weis ist jetzt genau.
Schön! Dann kommt es in Zukunft also deinerseits nicht mehr vor?
(Falls du es nicht weißt:
Generell darfst du überall deine Fragen stellen. Nur solltest du dann auch überall den Link auf die Frage im anderen Forum setzen. Das heißt hier:
Du (und nicht ich!) hättest im Matheraum den Link zu Onlinemathe setzen sollen und dann ebenso bei Onlinemathe einen Link zum Matheraum. Die Gründe dafür stehen in den Regeln, genauer:
hier.)
Versetze dich nun mal in die Lage eines Helfers/einer Helferin:
Wärst du nicht frustriert, wenn du für jemanden deine Zeit 'opferst' (natürlich machen wir das freiwillig), um ein Problem zu lösen, und dann später feststellst, dass du alles "umsonst" getan hast, weil die Frage an anderer Stelle schon längst beantwortet wurde?
Denk mal drüber nach. Nicht nur, dass Helfer/Innen ihre Zeit "verschwenden". Es kann auch folgendes passieren:
Eine Frage wird in mehreren Foren gleichzeitig bearbeitet, und ein anderer Fragesteller (hier oder in einem anderen Forum) 'leidet' darunter, weil gerade die Leute, die ihm auch helfen könnten (nehmen wir mal, seine Aufgabe sei etwas komplizierter), an der anderen Frage arbeiten. Findest du das in Ordnung?
Ich weiß, das ist jetzt ein Extremfall...
Aber die Gründe hier reichen ja auch schon aus, warum wir gegen Crosspostings ohne Hinweise sind.
Wenn du dich nun an die Regeln hältst, dann beschäftigen wir uns auch mit der Lösung deiner Aufgaben, anstatt auf etwas hinzuweisen, was du beim Abschicken deiner Frage mindestens zwei Mal zur Kenntniss genommen haben musst!
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Di 15.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo me,
> nach den Hinweisen wollte nur nochmal ausdrücklich auf das
> Crossposting hinweisen. Außerdem möchte ich keine Diskusion
> über Crossposting führen sondern lieber über mein
> Mathe-Problem. Was Crossposting ist und warum ich es nicht
> machen soll weis ist jetzt genau.
Alles klar.
Ich habe auch keine Lust, noch mehr Zeit zu verschwenden.
Die Diskussion ist hiermit beendet, die Bearbeitung deiner Frage durch den MatheRaum wird abgelehnt, dein Benutzerkonto gelöscht (mit dieser Maßnahme hast du dich bei Posten deiner Frage aktiv einverstanden erklärt.)
Begründung: Missachtung unserer Forenregeln und fehlender Respekt vor dem ehrenamtlichen Engagement unserer Mitglieder.
Alles Gute,
Marc
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