Beweis mit Mittelwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 05.06.2013 | | Autor: | tamilboy |
| Aufgabe | Beweise die Gültigkeit folgender Ungleichungen für x>0.
a)
[mm] e^x [/mm] > 1+x
b)
ln(x) [mm] \ge \bruch{x-1}{x} [/mm] |
Wie ich das gemacht habe:
Sei f(x) = [mm] e^x [/mm] und g(x) = 1+x
Mittelwertsatz :
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} \gdw \bruch{e^x}{1} [/mm] = [mm] \bruch{e^x -e^0}{(1-x)-(1+0)} [/mm] = [mm] \bruch{e^x -1}{1-x-1}= \bruch{e^x -1}{x} [/mm]
also im wesentlichen
[mm] e^x= \bruch{e^x -1}{x} [/mm]
Mal hier die Frage das stimmt doch gar nicht. Gleich ist es ja nicht. Kann man das trotzdem sagen?
danach weiter mit [mm] e^x [/mm] > 1+x [mm] \gdw \bruch{e^x-1}{x}>1
[/mm]
Dann benutze ich die obige Gleichung und komme auf
[mm] e^x>1 [/mm] was für x>0 trivial ist.
Reicht das? Kann man das so sagen? so ähnlich habe ich auch die b) gemacht.
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Hallo tamilboy,
> Mittelwertsatz :
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} \gdw \bruch{e^x}{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{e^x -e^0}{(1-x)-(1+0)}[/mm] = [mm]\bruch{e^x -1}{1-x-1}= \bruch{e^x -1}{x}[/mm]
>
Deine Frage ist berechtigt. Es stimmt nämlich nicht. Deine Gleichung entspricht überhaupt nicht dem Mittelwertsatz.
Die Lösung findest du am besten wenn du bei a) z.B. [mm] e^{x} [/mm] als Reihe darstellst, also [mm] e^{x}= \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}. [/mm] Wenn du nun die die ersten beiden Glieder der Summe (also i=0 und i=1 betrachtest und aus der Summe rausziehst, erhälst du genau 1+x+ RESTSUMME .
Da der Rest, also [mm] \summe_{i=2}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] >0 ist, gilt die Ungleichung.
Die b) geht eigentlich analog. Du kannst hier auch wieder einfach die Summenschreibweise des Logarithmus heranziehen.
Viele Grüße
petpahn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mi 05.06.2013 | | Autor: | tamilboy |
Ich weis das es andere Wege gibt diese Ungleichung zu lösen. Bei mir wird aber der Mittelwertsatz verlangt. Kann man das damit machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 05.06.2013 | | Autor: | petapahn |
Also ich sehe keine Möglichkeit, dies mit dem Mittelwertsatz zu beweisen.
Der Mittelwertsatz besagt ja, dass es für eine stetigen, differenzierbaren Funktion f, die auf [a;b] definiert ist, eine STELLE z [mm] \in [/mm] (a,b) gibt, sodass:
f'(z)= [mm] \bruch{f(a)-f(b)}{a-b}
[/mm]
Du wirfst hier mit allgemeinen x-en umher, was nicht dem Mittelwertsatz entspricht. Also deine AUsfürhung ist auf jeden Fall falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mi 05.06.2013 | | Autor: | tamilboy |
Wie schauts mit dem 2. Teil aus?
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}
[/mm]
in [a,b] a<b ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 05.06.2013 | | Autor: | petapahn |
> Wie schauts mit dem 2. Teil aus?
>
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}[/mm]
>
> in [a,b] a<b ??
Die beiden x-e von f'(x) und g'(x) sind ja jeweils die Stellen für die der Mittelwertsatz gilt. Diese beiden x können aber, da die Funktionen unterschiedlich sind, nicht als gleich vorausgesetzt werden. Das heißt du hast eigentlich zwei verschiedene Stellen und damit ist dein Ansatz dahin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:45 Do 06.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Wie schauts mit dem 2. Teil aus?
> >
> > [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}[/mm]
> >
> > in [a,b] a<b ??
>
> Die beiden x-e von f'(x) und g'(x) sind ja jeweils die
> Stellen für die der Mittelwertsatz gilt. Diese beiden x
> können aber, da die Funktionen unterschiedlich sind, nicht
> als gleich vorausgesetzt werden. Das heißt du hast
> eigentlich zwei verschiedene Stellen und damit ist dein
> Ansatz dahin.
Das ist Unsinn ! Hast Du schon mal was vom verallgemeinerten Mittelwertsatz gehört ?
FRED
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> Beweise die Gültigkeit folgender Ungleichungen für x>0.
>
> a)
>
> [mm]e^x[/mm] > 1+x
>
> b)
> ln(x) [mm]\ge \bruch{x-1}{x}[/mm]
> Wie ich das gemacht habe:
>
> Sei f(x) = [mm]e^x[/mm] und g(x) = 1+x
>
> Mittelwertsatz :
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} \gdw \bruch{e^x}{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{e^x -e^0}{(1-x)-(1+0)}[/mm] = [mm]\bruch{e^x -1}{1-x-1}= \bruch{e^x -1}{x}[/mm]
>
-------------------------------------------------------------------
Zunächst mal einen Schreibfehler wegmachen (+ statt - im Nenner):
[mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} \gdw \bruch{e^x}{1}[/mm]
= [mm]\bruch{e^x -e^0}{(1+x)-(1+0)}[/mm] = [mm]\bruch{e^x -1}{1+x-1}= \bruch{e^x -1}{x}[/mm]
Jetzt mal genauer:
Für jedes x > 0 existiert ein [mm] \xi [/mm] zwischen x und 0 mit:
[mm]\bruch{e^x -e^0}{(1+x)-(1+0)}[/mm] = [mm]\bruch{e^x -1}{1+x-1}= \bruch{e^x -1}{x}[/mm]= [mm]\bruch{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\bruch{e^\xi}{1}=e^\xi [/mm](und jetzt [mm] kommts:)>e^0=1, [/mm] da [mm] \xi>0 [/mm] und die e-Fkt. monoton steigt.
Insgesamt: [mm] \bruch{e^x -1}{x}>1, [/mm] also [mm] e^x-1>x [/mm] (da x>0), also [mm] e^x>x+1.
[/mm]
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Analog mit f(x)=ln(x) und g(x)=x:
[mm] \bruch{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\bruch{ln(x)}{x-1}=\bruch{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\bruch{\bruch{1}{\xi}}{1}=\bruch{1}{\xi}, [/mm] also [mm] \bruch{ln(x)}{x-1}=\bruch{1}{\xi}
[/mm]
Ist nun x>1, so ist [mm] \xi [/mm] zwischen 1 und x kleiner als x und damit [mm] \bruch{1}{\xi} [/mm] > [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Das gibt [mm] \bruch{ln(x)}{x-1}=\bruch{1}{\xi} [/mm] > [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Multipliziert mit (x-1) erhält man ln(x) > [mm] \bruch{x-1}{x}, [/mm] da Faktor x-1>0.
Ist aber x<1, so ist [mm] \xi [/mm] zwischen x und 1 größer als x und damit [mm] \bruch{1}{\xi} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Das gibt [mm] \bruch{ln(x)}{x-1}=\bruch{1}{\xi} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Multipliziert mit (x-1) erhält man aber wieder ln(x) > [mm] \bruch{x-1}{x}, [/mm] da Faktor x-1<0.
Die Gleichheit bei x=1 ist trivial.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise die Gültigkeit folgender Ungleichungen für x>0.
>
> a)
>
> [mm]e^x[/mm] > 1+x
>
> b)
> ln(x) [mm]\ge \bruch{x-1}{x}[/mm]
> Wie ich das gemacht habe:
>
> Sei f(x) = [mm]e^x[/mm] und g(x) = 1+x
>
> Mittelwertsatz :
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}[/mm]
es gibt (erweiterter MWS!) ein [mm] $\xi \in [/mm] (0,x)$ mit
[mm] $$f\,'(\xi)/g\,'(\xi)=\frac{e^x-1}{x}$$
[/mm]
Also ist
[mm] $$1=e^0 [/mm] < [mm] e^{\xi}=\frac{e^x-1}{x}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise die Gültigkeit folgender Ungleichungen für x>0.
>
> a)
>
> [mm]e^x[/mm] > 1+x
man kann das auch mit dem einfachem MWS so machen:
Wir setzen [mm] $f(x):=e^x-x\,.$ [/mm] Nach dem MWS existiert ein [mm] $\xi \in [/mm] (0,x)$ mit
[mm] $$f\,'(\xi)=e^{\xi}-1=\frac{e^x-x-1}{x}$$
[/mm]
Es folgt
[mm] $$x*e^{\xi}=e^x-1$$
[/mm]
und damit
[mm] $$e^x [/mm] > [mm] 1+x*e^0=1+x\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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