Beweis mit Produkt und Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm]x_1[/mm],...,[mm]x_n[/mm] [mm]\in \IR[/mm] positive Zahlen mit der Eigenschaft
[mm]\produkt_{k=1}^{N} x_k [/mm] := [mm]x_1[/mm] * ... * [mm] x_n[/mm] = 1
Man zeige, dass dann
[mm]\summe_{k=1}^{N} x_k [/mm] := [mm]x_1[/mm] + ... + [mm] x_n \ge[/mm] n |
Frage natürlich: was/wie/wo mache ich? Also empfohlen wurde uns Vollständige Induktion, aber ich versteht nicht ganz, wie ich die hier anwenden soll.
Meine Überlegung bis jetzt:
Es gibt ja an sich 2 Sorten von x: x [mm]\ge[/mm] 1 und x < 1.
Für alle x [mm]\ge[/mm] 1 ist natürlich die Summe [mm]\ge[/mm] n.
Für alle x < 1 ist die Summe < n und es muss ein oder mehrer x [mm]\ge[/mm] 1 geben, damit die Voraussetzung mit dem Produkt stimmt. Bzw. andersrum für jedes x [mm]\ge[/mm] 1 ein oder mehrer x < 1.
Aber das und der folgende Schluss daraus reicht wahrscheinlich nicht, weshalb ich um Eure Hilfe bitte.
(Die Summe aller x [mm]\ge[/mm] 1) - (die Summe aller x < 1) [mm]\ge[/mm] (1 + die Summe aller x < 1).
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\summe_{k=1}^{N} x_k [/mm] := [mm]x_1[/mm] + ... + [mm] x_n \ge[/mm] n
Verzeiht mir die Schreibweise im 2ten Teil.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mi 29.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Es seien [mm]x_1[/mm],...,[mm]x_n[/mm] [mm]\in \IR[/mm] positive Zahlen mit der
> Eigenschaft
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{N} x_k[/mm] := [mm]x_1[/mm] * ... * [mm]x_n[/mm] = 1
>
> Man zeige, dass dann
>
> [mm]\summe_{k=1}^{N} x_k[/mm] := [mm]x_1[/mm] + ... + [mm]x_n \ge[/mm] n
> Frage natürlich: was/wie/wo mache ich? Also empfohlen
> wurde uns Vollständige Induktion, aber ich versteht nicht
> ganz, wie ich die hier anwenden soll.
>
Hallo,
wenn die Summe der n Zahlen größer n ist, so ist ihr arithmetishes Mittel größer als 1, während ihr geometrisches Mittel gleich 1 ist.
Wer den Satz über das arithmetische und geometrische Mittel von n Zahlen kennt, ist hier schon fertig.
(Aber wahrscheinlich dürft ihr den nicht verwenden.)
Folge einfach der Empfehlung und beginne mir der Induktion (Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung)
Gruß Abakus
> Meine Überlegung bis jetzt:
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> Es gibt ja an sich 2 Sorten von x: x [mm]\ge[/mm] 1 und x < 1.
>
> Für alle x [mm]\ge[/mm] 1 ist natürlich die Summe [mm]\ge[/mm] n.
>
> Für alle x < 1 ist die Summe < n und es muss ein oder
> mehrer x [mm]\ge[/mm] 1 geben, damit die Voraussetzung mit dem
> Produkt stimmt. Bzw. andersrum für jedes x [mm]\ge[/mm] 1 ein oder
> mehrer x < 1.
>
> Aber das und der folgende Schluss daraus reicht
> wahrscheinlich nicht, weshalb ich um Eure Hilfe bitte.
>
> (Die Summe aller x [mm]\ge[/mm] 1) - (die Summe aller x < 1) [mm]\ge[/mm] (1
> + die Summe aller x < 1).
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\summe_{k=1}^{N} x_k[/mm] := [mm]x_1[/mm] + ... + [mm]x_n \ge[/mm]
> n
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> Verzeiht mir die Schreibweise im 2ten Teil.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Mi 29.10.2008 | | Autor: | OhMySweet |
> Folge einfach der Empfehlung und beginne mir der Induktion
> (Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung)
Genau hier besteht ja eigentlich mein Problem. Ich hab mir das Geschriebene überlegt, weiss aber einfach nicht, wie ich hier die vollst. Induktion anwenden soll (mich verwirrt in erster Linie die [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] ).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Do 30.10.2008 | | Autor: | OhMySweet |
Sowohl den Ansatz, als auch die komplette Lösung habe ich nun bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gefunden.
Meine Überlegungen gingen schreinbar in die richtige Richtung. Trotzdem eine komisch Aufgabe, wenn man nie vollst. Induktion mit Ungleichungen behandelt hat.
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