Beweis mit Produktzeichen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | cloui |
| Aufgabe | Zeige für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] = [mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm] |
ich komme mit dieser aufgabe nicht weiter, hab bis jetzt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] =
[mm] \produkt_{k=1}^{n-1} (1^{k} [/mm] + 2*1* [mm] \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{k})^{k} [/mm] =
[mm] 1^{1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{1} [/mm] + [mm] 1^{1}
[/mm]
= 4
aber das kann doch nicht stimmen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo cloui!
Du musst für den Induktionsanfang den Wert $n \ = \ 2$ einsetzen:
[mm] $$\produkt_{k=1}^{2-1}\left(1+ \bruch{1}{k}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \produkt_{k=1}^{1}\left(1+ \bruch{1}{k}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(1+ \bruch{1}{1}\right)^1 [/mm] \ = \ [mm] (1+1)^1 [/mm] \ = \ 2$$
[mm] $$\bruch{2^{2}}{2!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{2} [/mm] \ = \ 2$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Sa 03.11.2007 | | Autor: | cloui |
upps ich depp, hab gar nicht das n [mm] \ge [/mm] 2 beachtet :)
jetzt ist mir alles klar, danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 04.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Hab die selbe Aufgabe und komm irgendwie nicht beim Induktionsschritt weiter.
Hab bisher :
n+1
$ [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] $ = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^{n}}{n!}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{n}}{n!} [/mm] * [mm] 1^{n}
[/mm]
=$ [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] $ * [mm] 1^{n} [/mm] (I.V. einsetzen)
Ab hier komm ich nicht weiter, kann man das überhaupt so machen
?
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Hallo LoBi,
> Hab die selbe Aufgabe und komm irgendwie nicht beim
> Induktionsschritt weiter.
>
> Hab bisher :
> n+1
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
das ist zu zeigen
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^{n}}{n!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^{n}}{n!}[/mm] * [mm]1^{n}[/mm]
>
> =[mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k[/mm] * [mm]1^{n}[/mm] (I.V.
> einsetzen)
>
> Ab hier komm ich nicht weiter, kann man das überhaupt so
> machen
> ?
Im Induktionsschritt [mm] $n-1\to [/mm] n$ ist also zz, dass unter der Induktionsvoraussetzung: [mm] $\produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k=\bruch{n^n}{n!}$ [/mm] gefälligst auch
[mm] $\produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k=\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ [/mm] gilt
Also [mm] $\produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k=\left(\produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\frac{n^n}{n!}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung
[mm] $=\frac{n^n}{n!}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\frac{n^n\cdot{}(n+1)^n}{n!\cdot{}n^n}=\frac{(n+1)^n}{n!}$
[/mm]
Nun nur noch ein bisschen erweitern und du bist am Ziel
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 04.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Besten Dank, nur was mir einfach nicht in den Kopf rein will ist diese Indexverschiebung?
Warum darf man denn hierbei das k durch n ersetzen
( 1+ [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
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Hi,
Das war keine Indexverschiebung, ich habe lediglich den letzten Faktor des Produktes [mm] $\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] , also den für k=n, getrennt geschrieben
Es ist ja [mm] $\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1\cdot{}\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot{}....\cdot{}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\red{\left(}\left(1+\frac{1}{1}\right)^1\cdot{}\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot{}....\cdot{}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\red{\right)}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
[/mm]
[mm] $=\left(\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
OK?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 So 04.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Jo jetzt hat's klick gemacht.
Jetzt weiss ich auch wo mein Denkfehler war, in meinem Kopf war n quasi die Laufvariabel.
Danke dir vielmals für deine Mühe
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