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| Aufgabe | Gegeben sei [mm] n_{0} \in \IN [/mm] und A [mm] \subset \IN [/mm] mit:
(1) [mm] A(n_{0}),
[/mm]
(2) [mm] (\forall_{n}\ge n_{0})[[(\forall_{k})[n_{0}\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n [mm] \to A(k)]]\to [/mm] A(n+1)]
Zeigen Sie, dass [mm] (\forall_{n})[n\ge n_{0} \to [/mm] A(n)]
Hinweis: Betrachten Sie die Menge P = { [mm] n\ge n_{0}|(\forall_{k})[n_{0} \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n [mm] \to [/mm] k [mm] \in [/mm] A] } |
Hallo !
Also es ist jetzt das erste mal das ich so eine Aufgabe mache und das kommt mir alles vor als wäre es chinesisch. Was die einzelnen Symbole bedeuten weiß ich, z.b. der Allquantor oder der Existenzquantor. Ich hab leider überhaupt keine Anschauung dafür. Gibt es für so etwas ein konkretes Beispiel mit Zahlen? Damit ich mir überhaupt etwas darunter vorstellen kann? Könnte mir das auch jemand auf Deutsch übersetzen? Es müsste so ungefähr anfangen:
Bei (2):
Für alle n die größer als [mm] n_0 [/mm] sind gibt es ein n (bedeutet das für alle n ohne die Null?) Dann weiß ich nicht mehr weiter(bei den eckigen Klammern)dann weiter: wenn k zwischen n und [mm] n_0 [/mm] ist dann folg A(k) und A(n+1)? Könnte das so irgendwie stimmen??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 18.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo PhysikGnom,
> Bei (2):
> Für alle n die größer als [mm]n_0[/mm] sind gibt es ein n
> (bedeutet das für alle n ohne die Null?)
Nein. Wenn z.B. [mm] $n_0=5$ [/mm] ist, steht da "für alle n, die größer/gleich 5 sind". "Gibt es ein n" steht da nirgendwo.
> Dann weiß ich
> nicht mehr weiter(bei den eckigen Klammern)dann weiter:
> wenn k zwischen n und [mm]n_0[/mm] ist dann folg A(k) und A(n+1)?
> Könnte das so irgendwie stimmen??
Nein. Wenn für alle k aus "k zwischen [mm] n_0 [/mm] und n" A(k) folgt, dann folgt A(n+1).
Die Aussage ist gar nicht so schwer, wie die abschreckenden Formeln den Anschein erwecken. Es geht um eine Variante der vollständigen Induktion.
> Gegeben sei [mm]n_{0} \in \IN[/mm]
Nehmen wir mal als Beispiel [mm] $n_0=5$.
[/mm]
> und A [mm]\subset \IN[/mm] mit:
$A$ kann man auffassen als eine Aussage, die für jede natürliche Zahl n zutreffen oder nicht zutreffen kann. $A(n)$ (Schreibweise für [mm] $n\in [/mm] A$) bedeutet, dass die Aussage $A$ auf die natürliche Zahl $n$ zutrifft.
> Zeigen Sie, dass [mm](\forall_{n})[n\ge n_{0} \to[/mm] A(n)]
Das Ziel ist zu zeigen, dass die Aussage $A$ (in unserem Beispiel) auf alle natürlichen Zahlen [mm] $n\ge5$ [/mm] zutrifft.
Dazu soll folgendes Induktionsverfahren hinreichend sein:
> (1) [mm]A(n_{0}),[/mm]
Man zeigt als Art Induktionsanfang, dass die Aussage $A$ auf 5 zutrifft.
> (2) [mm](\forall_{n}\ge n_{0})[[(\forall_{k})[n_{0}\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
> [mm]\to A(k)]]\to[/mm] A(n+1)]
Nun führt man eine Art Induktionsschritt durch: Ich zeige mal an den Beispielen $n=5,6$ und $7$, was [mm] $[[(\forall_{k})[n_{0}\le k\le n\to A(k)]]\to [/mm] A(n+1)]$ bedeutet.
Für $n=5$ steht da: [mm] $[[(\forall_{k})[5\le k\le 5\to A(k)]]\to [/mm] A(6)]$.
Das bedeutet: Wenn $A$ auf $5$ zutrifft, dann auch auf $6$.
Für $n=6$ steht da: [mm] $[[(\forall_{k})[5\le k\le 6\to A(k)]]\to [/mm] A(7)]$.
Das bedeutet: Wenn $A$ auf $5$ und $6$ zutrifft, dann auch auf $7$.
Für $n=7$ steht da: [mm] $[[(\forall_{k})[5\le k\le 7\to A(k)]]\to [/mm] A(8)]$.
Das bedeutet: Wenn $A$ auf $5,6$ und $7$ zutrifft, dann auch auf $8$.
Anschaulich ist plausibel, dass man auf diese Weise tatsächlich $A(n)$ für alle [mm] $n\ge5$ [/mm] nachweisen kann. Du sollst diesen Zusammenhang nun formal beweisen, indem du ihn auf ein schon bekanntes Induktionsschema zurückführst. (Natürlich letztlich mit beliebigem [mm] $n_0$ [/mm] anstelle vom Beispiel $5$.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 10.05.2012 | | Autor: | PhysikGnom |
Oh sry das ich vergessen hab zu antworten -.- Vielen Dank für die Antwort, hat mir auf jeden Fall beim Verstehen geholfen :) (ist aber jetzt schon wieder so lange her :D) Naja dann noch eine schöne Woche :)
Gruß
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