Beweis mit bin. Lehrsatz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Sa 01.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Sei a [mm] \not= [/mm] 0 eine reelle Zahl, so dass a+1/a [mm] \in \IZ. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] a^n [/mm] + [mm] 1/a^n \in \IZ [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Da wir in der Vorlesung den binomischen Lehrsatz behandeln und diese Aufgabe danach aussieht, wollte ich ihn gerne zur Lösung verwenden, wobei ich aber leider bis jetzt scheitere.
Wenn man die binomische Formel [mm] (a+1/a)^n [/mm] mit Hilfe des bin. Lehrsatz auflöst kommen als erste und letzte Komponente die Sachen raus, mit denen ich etwas zeigen will.
Also [mm] (a+1/a)^n=a^n [/mm] +...+ [mm] 1/a^n
[/mm]
Da lt. Voraussetzung ja a+1/a eine ganze Zahl ist, ist ja auch [mm] (a+1/a)^n [/mm] eine ganze Zahl..um nun die Behauptung zu zeigen muss ich also zeigen, dass "..." oben eine ganze Zahl ist.
Anhand von Beispielen n=1,2,3 hat das auch immer schön funktioniert, aber wie kann man das nun für alle n zeigen? Ich dachte an Induktion, aber weiter komme ich leider nicht :(
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei a [mm]\not=[/mm] 0 eine reelle Zahl, so dass a+1/a [mm]\in \IZ.[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm]a^n[/mm] + [mm]1/a^n \in \IZ[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Da wir in der
> Vorlesung den binomischen Lehrsatz behandeln und diese
> Aufgabe danach aussieht, wollte ich ihn gerne zur Lösung
> verwenden, wobei ich aber leider bis jetzt scheitere.
> Wenn man die binomische Formel [mm](a+1/a)^n[/mm] mit Hilfe des
> bin. Lehrsatz auflöst kommen als erste und letzte
> Komponente die Sachen raus, mit denen ich etwas zeigen
> will.
> Also [mm](a+1/a)^n=a^n[/mm] +...+ [mm]1/a^n[/mm]
> Da lt. Voraussetzung ja a+1/a eine ganze Zahl ist, ist ja
> auch [mm](a+1/a)^n[/mm] eine ganze Zahl..um nun die Behauptung zu
> zeigen muss ich also zeigen, dass "..." oben eine ganze
> Zahl ist.
> Anhand von Beispielen n=1,2,3 hat das auch immer schön
> funktioniert, aber wie kann man das nun für alle n zeigen?
> Ich dachte an Induktion, aber weiter komme ich leider nicht
> :(
Die binomische Formel ist hier wohl eher nicht erfolgversprechend.
Aber ein Induktionsbeweis der Aussage
[mm] $a^k [/mm] + [mm] a^{-k} \in \IZ$ [/mm] für alle $k [mm] \le [/mm] n$
führt schnell zum Ziel.
Multipliziere im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ das Produkt
[mm] $\left(a^n+a^{-n}\right)*\left(a + a^{-1}\right)$
[/mm]
aus und beachte, daß nach Induktionsvoraussetzung beide Terme [mm] $a^{n-1}+a^{-(n-1)}$ [/mm] und [mm] $a^n+a^{-n}$ [/mm] ganzzahlig sind.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 01.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
hier habe ich gerade im Prinzip das gleiche geschrieben.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Sa 01.12.2012 | | Autor: | tmili |
Vielen vielen Dank :)
Das ist ja echt sehr einfach..ich hing da einfach in meiner binomischen Formel fest, weil wir die grad in der Vorlesung hatten und ich dachte die muss da in den Beweis rein!!
Vielen Dank und einen schönen Abend!!
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